統計 92 年抽樣方法考古題

解釋下列名詞：（25 分） 抽樣母體(Sampling population) 簡單隨機抽樣(Simple random sampling) 精確性(Precision) 不偏估計式(Unbiased estimator) 非機率抽樣(Non-probability sampling)

試對以下的抽樣設計方法作優劣性的比較：(20 分) 簡單隨機抽樣 分層抽樣 一階段群集抽樣 多階段群集抽樣

假設母體總數N=15000，考慮以不放回簡單隨機抽樣方式（簡稱為SRS）自母體中 抽出n=15 個樣本。 試問樣本空間中有多少種不同的結果。（5 分） 依據 說明滿足何種條件則稱之為SRS。（5 分） 依據 證明母體中任何一個體在樣本中的機率為1000 1 。（10 分）

茲有一N＝6 之有限母體，其觀察值分別為y1＝98, y2＝102, y3＝154, y4＝133, y5=190, y6＝175，今有一抽樣設計自此母體中抽出樣本數n＝3 的隨機樣本，其可能出現的結 果如下表： 可能結果之編號 1 2

在1987 年間美國銀行共有150 家海外分行。為了調查這些海外分行的資產，於是 隨機取出30 家海外分行進行資產調查，得此30 家海外分行的平均資產為$18 億美 元，且標準差為$4 億美元。 試求這150 間海外分行的平均資產95%的近似信賴區間。(5 分) 試求這150 間海外分行的總資產的95%的近似信賴區間。(5 分) 假設在150 家海外分行中，隨機取出30 家海外分行進行在英國具有一間以上的 分行數的調查，得此30 家海外分行有30%的海外分行在英國具有一間以上的分 行，試求這些海外分行在英國具有分行比例的95%近似信賴區間？若希望估計具 有分行比例P 的誤差界限為B=5%，則須要抽取多少家海外分行方能達到我們的 要求？ (10 分)

假設從全國250 所大學中，以SRS 抽樣抽出50 所大學。學生人數（表示為Yi）和 老師人數（表示為Xi）如下所示： 樣本數 (n) ∑ = 50 1 Y i i ∑ = 50 1 X i i 2 50 1 Y ∑ = i i i i iY X 50 1∑ = 2 50 1 X ∑ = i i 50

樣本結果,S {y1,y4,y6} {y2,y3,y6} {y1,y3,y5} 樣本結果出現的機率,P(S) 1/4 1/2 1/4 令 y µ 表示母體平均數，y表示樣本平均數，且已知∑ = = 6 1 i i 852 y ，∑ = = 6 1 i 2 i 128138 y 。 試根據此抽樣設計的結果求下列各值：（20 分） y的期望值 ) y ( E ＝？ y的變異數 ) y ( V ＝？ y的偏誤 ) y ( Bias ＝？ y的均方差 ) y ( MSE ＝？ 三、何謂分層隨機抽樣？分層的目的為何？使用分層隨機抽樣法時，各層樣本大小之配 置(allocation)主要有那些方法？請用適當的符號列出這些配置方法的公式。（30 分）

某一工會擬對2000 名會員進行雇工人數調查，以去年每一會員平均雇用之勞工人數作 為分層之標準，由會員中以分層隨機抽樣法抽出100 名會員，其樣本資料如下：(40 分) 層(h) Nh nh h y Sh 1 1150 50 15 8 2 400 10 24 7 3 250 20 36 8

10 2. 30 × 3 10 02 .2 × 6 10 1. 30 × 6 10 7.1 × 6 10 11 .0 × 利用上述資料說明如何估計 T S N N R = ，其中NS 和NT 分別為250 所大學學生和老師 總人數。（10 分） 說明 所提出的估計值是否為R 的不偏估計。（10 分） 利用上述資料建構R 的95%區間估計。（10 分） 三、 假設母體分為兩層。令N1 和N2 分別表示第一層和第二層已知之母體總數，令σ1 2 和σ2 2 分別表示第一層和第二層之母體變方（σ1 2 和σ2 2 未知）。考慮以分層抽樣方式 自母體兩層中分別以SRS 抽出n1 和n2 個樣本並以 ∑ = = 2 1 h h h st y w y 估計母體平均值，其 中 1y 和 2 y 分別表示第一層和第二層樣本平均值， ) 2 ,1 ( = = h N N w h h ， 2 1 N N N + = 。 我們希望在給定的預算c 下選擇n1 和n2 使得 st y 的變方 ) ( st y Var 最小。 假設 ∑ = + = 2 1 0 h h hn c c c ，其中c0 和ch (h=1, 2) 為已知之正數。 當c1=c2 時，說明如何選擇n1 和n2？（10 分） 由於σ1 2 和σ2 2 未知，因此 所選擇的n1 和n2 在實際應用上有何困難？（5 分） 另一簡單之樣本數配置方法稱之為比例配置。何謂比例配置並說明在何種情形下 適用。（10 分）

某統計專家擬調查某甘蔗試驗農場改良種「台灣一號甘蔗」的含糖量，但因不知甘 蔗總株數N，致不宜採用簡單隨機抽樣，故決定改用〝七中取一〞的系統抽樣法， 下表所列資料是所抽甘蔗樣本的含糖量百分比（%）。（25 分） 甘蔗樣本 1 2 3 … 210 211 212 含糖量yi(%) 82 76 83 … 84 80 79 且經計算得下列資料：∑ = = 212 1 i i 17066 y ，∑ = = 212 1 i 2 i 1486800 y 。 試估計該農場改良種甘蔗的平均含糖量µ之值，及其估計的95%誤差界限。 註：設Z～N(0,1)，令 = Φ ) z ( dt e 2 1 2 t2 − π ，已知 95 .0 ) 645 .1( = Φ ， 975 .0 ) 96 .1( = Φ 。 ∫ z ∞ −

200 20 60 18 總數 2000 100 試求全部會員平均雇工人數的分層估計值。 試求 中分層估計量標準誤的估計值。 試求全部會員平均雇工人數的95%近似誤差界限B。 試求全部會員平均雇工人數的95%近似信賴區間。 試求全部會員總雇工人數的分層估計值，並求每一層雇工人數的分層估計值。 試求全部會員總雇工人數分層估計量標準誤的估計值。 試求全部會員總雇工人數的95%近似誤差界限B。 試求全部會員總雇工人數的95%近似信賴區間。 九十二年公務人員升官等考試試題 代號： 科 別： 統計 全一張 （背面） 31960 四、在一個具有母體大小為M=500 以及子群集為N=20 的抽樣母體中，以簡單隨機抽樣 法自此抽樣母體中隨機抽出四個群集作為樣本。若樣本中每一個群集內的母體大小 Mi，某類別的總個數Ai 如下表所示：(20 分) 集群(i) Mi Ai 1 2 3 4 10 20 30 40 8 10 18 24 總和 100 60 試求母體比例P 的群集估計值及母體比例P 的群集估計量標準誤的估計值。 試求母體比例P 的95%近似信賴區間。 若此題我們將變數資料視為簡單隨機樣本， 試求母體比例P 的簡單估計值及母體比例的簡單估計量標準誤的估計值。 試求母體比例P 的95%近似信賴區間。

今欲估計某一製鞋工廠在某一天所生產鞋子不良品所佔之比例（表示為P）。工廠共 有24 個生產線 (i=1, …, 24)。第i 個生產線每天生產Mi 雙鞋子。考慮以比例集群抽 樣方式（即第i 個生產線被抽中之機率和Mi 成正比）抽出一個樣本。 說明如何利用均勻分配U(0, 1) 亂數抽出一隨機樣本。（10 分） 假設抽中第3 個生產線，M3=100，不良品個數為2 個。說明如何估計P。（10 分） 在實際應用上，當Mi 太大時，無法每件檢查。有何處理方法？（5 分）