統計 92 年統計學考古題

令x 為一隨機變數其分配函數(distribution function) F(x)為連續且反函數存在。定義 Y = F(x)。試證Y 為(0,1)上之均勻隨機變數(Y~U(0,1))，即P [ Y ≤ y ] = y， ∀ 0 < y < 1。（20 分）

設X1, X2, ⋯, Xn, n > 1，為來自普阿松母體Poisson (λ)的隨機樣本。試求兩種λ 的動 差法估計量。（20 分）

罐裝飲料之裝量標示為250 ml。為減少被檢驗出裝量不足的機會，生產線多設定機 器裝罐量為255 ml。根據過去的經驗顯示罐裝量服從常態N (μ, 4)。欲檢定H0：μ≧ 255 vs. H1：μ < 255，以確定生產線設定裝罐量確實。品管部門從某生產線隨機抽出 10 罐飲料，若罐裝量的樣本平均數小於254 ml，則要求該生產線的罐裝程序重調整。 這檢定的顯著水準為何？（7 分） 請寫出此檢定的檢定力函數。（7 分） 罐裝量的樣本平均數為254.5 ml 的P－值為何？（6 分）

考慮模型如下：Yi ~ N (α + βxi , σ2 ), i = 1, … , n，且彼此間相互獨立。試分別求出α, β 的最小平方估計量及最大概似估計量，並說明兩者間的關係。（20 分）

設X1, X2, …, Xm 為來自F(x)的隨機樣本，Y1, Y2, …, Yn 為來自G(y)的隨機樣本，其中 F(.)及G(.)為X 和Y 的累積分布函數(cumulative distribution function)且在整個實數線 上是一連續函數，(X1, X2, …, Xm)與(Y1, Y2, …, Yn)獨立，欲檢定H0：對所有z 為實數， F(z) = G(z)，定義當Xi < Yj 時Zij = 1，當Xi > Yj 時Zij = 0。考慮統計量 ∑∑ = = = n j m i ij Z U 1 1 。 在H0 為真下，求E(U)。（5 分） 在H0 為真下，求P(Xi < Yj , Xi < Yk)的機率值。（5 分） 在H0 為真下，var(U)的值為何？（5 分） 若n = 9, m = 10 及u = 75 為U 的觀測值，則在顯著水準α = 0.05 下，檢定H0：對所 有z 為實數，F(z) = G(z)；H1：存在z 為實數使得F(z)≠G(z)，結論為何？（5 分） （已知：z0.05 = 1.645，z0.025 = 1.96） 九十二年公務人員特種考試身心障礙人員考試試題 科 別： 統計 附表 NORMAL CURVE AREAS .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990