統計 92 年統計學考古題

令x 為一隨機變數其分配函數(distribution function) F(x)為連續且反函數存在。定義 Y = F(x)。試證Y 為(0,1)上之均勻隨機變數(Y~U(0,1))，即P [ Y ≤ y ] = y， ∀ 0 < y < 1。（20 分）

某工廠共有員工100 名，其受教育年限與月薪資的資料如下： 月薪資 教育年限 10,000~15,000 元 15,000~20,000 元 20,000~30,000 元 9 年 40 20 10 12 年 10 10 10 試利用上述資料計算該工廠員工薪資水準與變異程度。（5 分） 令X＝薪資，Y＝教育年限，試求X，Y 之聯合機率分配P（X,Y）。（註：薪資以 組中點為代表）（5 分） 試求f（X｜Y）條件機率分配。（10 分） 教育年限與員工薪資是否有關係？為什麼？（10 分） 若對員工薪資課以下列兩種稅：（10 分） T1＝0.2X；T2＝0.4（X－4,000） 何種課稅方式可使政府稅收較多？ 何種課稅方式可使薪資所得分配較公平？（以變異數衡量公平程度）

直排輪運動傷害研究，以過去一年內全國直排輪運動人口為母體，隨機抽出250 位 做問卷調查。資料顯示，87 位受訪者運動時帶護肘其中10 位手肘受傷，163 位運動 時未帶護肘的受訪者中35 位手肘受傷。欲檢定護肘是否較能保護直排輪運動者。 請寫出適當的檢定虛無假設與對立假設。（6 分） 請求出 中檢定的p-值。（14 分）

設X1, X2, ⋯, Xn, n > 1，為來自普阿松母體Poisson (λ)的隨機樣本。試求兩種λ 的動 差法估計量。（20 分）

一電腦製造商宣稱其所生產的第五代電腦終端機的壽命較第四代長，已知第四代電 腦終端機的平均壽命為5 年，標準差為1 年。假設第五代電腦終端機的壽命呈常態 分配，且其標準差與第四代相同。 甲公司購買了25 台第五代電腦，發現其平均壽命為4.7 年，試問在顯著水準1％ 下，該製造商的宣稱是否正確？（5 分） 乙公司購買了64 台第五代電腦，發現其平均壽命為4.7 年，試問在顯著水準1％ 下，該製造商的宣稱是否正確？（5 分） 甲，乙公司檢定結果，何者較為可信？理由。（5 分） （請接第二頁） 九十二年公務人員升官等考試試題 代號： 科 別： 統計、工業行政、科技行政 全三頁 第二頁 31950 32750 33052

投擲公正硬幣一萬次，試以柴比雪夫（Chebyshev）不等式，對「出現正面的比率介 於0.49 與0.51 之間」這一事件的機率給一個下界。（20 分）

罐裝飲料之裝量標示為250 ml。為減少被檢驗出裝量不足的機會，生產線多設定機 器裝罐量為255 ml。根據過去的經驗顯示罐裝量服從常態N (μ, 4)。欲檢定H0：μ≧ 255 vs. H1：μ < 255，以確定生產線設定裝罐量確實。品管部門從某生產線隨機抽出 10 罐飲料，若罐裝量的樣本平均數小於254 ml，則要求該生產線的罐裝程序重調整。 這檢定的顯著水準為何？（7 分） 請寫出此檢定的檢定力函數。（7 分） 罐裝量的樣本平均數為254.5 ml 的P－值為何？（6 分）

參加推薦甄試是進入大學的管道之一。當參與甄試的教授群看過一個學生的申請 文件並進行過口試後，就必須在下面兩項選擇中做一個決定： 該生不具發展潛力 該生具發展潛力 : : 1 0 H H 「錄取該生，但日後發現他的學業表現不佳」為何種誤差？（Type Ⅰ還是Type Ⅱ）；其機率表示為α還是β？（5 分） 「未錄取該生，但日後發現他在其他學校的學業表現優異」為何種誤差？（Type Ⅰ還是Type Ⅱ）；其機率表示為α還是β？（5 分） 「提高錄取標準」是增加____而減少____。（請填α或β）（5 分） 「放寬錄取標準」是增加____而減少____。（請填α或β）（5 分）

考慮簡單線性迴歸模型 n i x y i i i ..., ,1 , = + + = ε β α 。 已知 2 ˆ = α ，且 ) 10 ,2 ( ) , ( = y x 。請求出預測方程式，並請解釋βˆ 的意義。（14 分） 假定n = 5，且殘差 1 ˆ ,0 ˆ ,2 ˆ ,5 ˆ

考慮模型如下：Yi ~ N (α + βxi , σ2 ), i = 1, … , n，且彼此間相互獨立。試分別求出α, β 的最小平方估計量及最大概似估計量，並說明兩者間的關係。（20 分）

品管圈（quality circles）是參與管理的最重要的實踐。所謂品管圈就是大約由8～10 位員工所組成的工作團體。團員們定期聚會討論品質上的問題、調查問題的起因、 提出可行方案，並採取矯正措施。今設福特汽車廠為了解此種制度的可行性，分別 在南北工廠抽出100 及200 位員工，並詢問其意見，得資料如下：（10 分） 南 北 贊成 40 120 反對 60 80 試檢定南北區員工對品管圈制度之意見是否相同（α＝0.05）？

3 2 1 − = = − = = ε ε ε ε ，試求 = 5ˆε ？（6 分） 四、某路公車班車之間的時間間隔具有指數分布（Exponential Distribution），期望值10 分鐘。假設你到站時，前班車於5 分鐘前離去，試求你等車時間的期望值 （expectation）。（20 分）

設X1, X2, …, Xm 為來自F(x)的隨機樣本，Y1, Y2, …, Yn 為來自G(y)的隨機樣本，其中 F(.)及G(.)為X 和Y 的累積分布函數(cumulative distribution function)且在整個實數線 上是一連續函數，(X1, X2, …, Xm)與(Y1, Y2, …, Yn)獨立，欲檢定H0：對所有z 為實數， F(z) = G(z)，定義當Xi < Yj 時Zij = 1，當Xi > Yj 時Zij = 0。考慮統計量 ∑∑ = = = n j m i ij Z U 1 1 。 在H0 為真下，求E(U)。（5 分） 在H0 為真下，求P(Xi < Yj , Xi < Yk)的機率值。（5 分） 在H0 為真下，var(U)的值為何？（5 分） 若n = 9, m = 10 及u = 75 為U 的觀測值，則在顯著水準α = 0.05 下，檢定H0：對所 有z 為實數，F(z) = G(z)；H1：存在z 為實數使得F(z)≠G(z)，結論為何？（5 分） （已知：z0.05 = 1.645，z0.025 = 1.96） 九十二年公務人員特種考試身心障礙人員考試試題 科 別： 統計 全一張 （背面） 附表 NORMAL CURVE AREAS .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

過去五年內某電腦產品的全世界產量（X）與我國產量（Y）如下（單位：千件）： X 38 46 54 65 77 Y 11 15 20 26 33 試求Y 對X 的迴歸直線 X Y βˆ αˆ ˆ + = 。（5 分） 試求國外產量（Z）對X 的迴歸直線 X Z βˆ αˆ ˆ ′ + ′ = 。 （5 分） 題 與題 中兩條迴歸直線的係數彼此之間有何關係？（5 分） （請接第三頁） 九十二年公務人員升官等考試試題 代號： 科 別： 統計、工業行政、科技行政 全三頁 第三頁 31950 32750 33052

設一因子設計的統計模型： ) ,0 ( ~ , 2 σ ε ε α µ N Y ij ij i ij + + = ， a i ,..., 2 ,1 = ， in j ,..., 2 ,1 = 獨立，及∑ = = a i i in 1 0 α 。由此一因子實驗所收集到的資料中 3 ,3 ,4 ,3 3 2 1 = = = = a n n n 及 樣本1 樣本2 樣本3 15.4 11.2 14.9 15.2 11.4 10.8 18.6 15.8 12.7 10.4 4. 16 1 = • y 2. 12 2 = • y 8. 12 3 = • y 64 .3 2 1 = s 96 .3 2 2 = s 21 .4 2 3 = s 求 i α 的最小平方估計量。（7 分） 試在顯著水準 05 .0 = α 下，檢定 0 : 3 2 1 0 = = = α α α H 。（7 分） 求 2 1 α α − 的95%信賴區間。（6 分） （已知：F0.05(3,7) = 4.35, F0.05(2,7) = 4.7374, t0.025(3) = 3.182, t0.025(2) = 4.303, t0.025(7) = 2.365） 九十二年公務人員高等考試三級考試第二試試題 代號： 科 別： 統計、經濟行政、農業行政、交通工程 全一張 （背面） 31550 31950 32150 34750