統計 109 年統計學考古題

甲公司開發X 電池，經測試估算得出X 電池之壽命（單位＝小時）服從 指數分配，機率密度函數為： ݂(ݔ) = ߣ݁ିఒ௫, ݔ≥0, ߣ= 1 2000 ⁄ 。 ㈠試問X 電池之平均壽命為幾小時？（5 分） ㈡若僅有約5%的X 電池之壽命低於T 小時，試問T 為多少？（5 分） ㈢W 研究中心隨機抽取100 個X 電池，得出該樣本之平均壽命為1800 小時。試求母體平均壽命之95%信賴區間。（10 分）

某行銷部門組長想研究新的網頁設計是否可以提高產品點擊率，假設造訪 該產品的線上使用者被隨機引導至新頁面A 或舊頁面B，經過一週之測 試所得的點擊數據如下表。令ܺ௜代表第݅個造訪新頁面之使用者是否點擊， 令ߨ஺與ߨ஻分別為新舊網頁之點擊率。 造訪人次 點擊次數 A 125 50 B 120 30 ㈠試問ܺ௜服從什麼機率分配？（5 分） ㈡在0.01 的顯著水準之下，檢定新網頁是否有較高之點擊率？（10 分） ㈢承㈡作圖畫出p 值對應之區域。（5 分）

王主任部門有500 名職員，他對職員做了兩個月的英文聽力訓練，並讓他 們在訓練前與訓練後分別接受難易度相似的英聽測驗。下表是隨機抽取的 10 名職員之訓練前後的成績。（每小題10 分，共30 分） 訓練前 90 80 85 65 75 85 70 75 80 90 訓練後 95 84 80 70 75 90 73 72 82 92 ㈠在0.05 的顯著水準下，檢定訓練前後的母體之變異數是否相等？ ㈡在0.05 的顯著水準下，使用t 檢定比較訓練前後之英聽能力是否有差異？ ㈢承㈡改用變異數分析方法F 檢定，試著移除職員間英聽能力之不同可能 帶來的干擾，比較訓練前後之英聽能力是否有差異？

桂花園餐廳過去10 個月之營業額（萬元）與廣告花費（萬元）如下表： 廣告 15 16 12 13 15 9 10 3 3 2 營業 30 30 38 36 35 30 25 17 20 15 ㈠令營業額為依變數，廣告花費為自變數。試求出線性迴歸方程式。（6 分） ㈡試問迴歸模型之基本假設。（4 分） ㈢試做出此迴歸分析之變異數分析表。（10 分） ㈣試求判定係數並解釋其意義。（5 分） ㈤在0.05 的顯著水準下，試檢定斜率參數是否為零？（5 分）

鄭主任使用線上適性化平台來訓練其部屬的軟體操作能力，該平台依學習 者能力，適性調整每個人在線上接受訓練之時間，當能力達到精熟程度時， 該訓練即停止。以下是10名部屬在訓練前之能力評估分數（0～200分，分 數越高代表能力越強），以及達到精熟程度所需要之練習時間（分鐘）。 （每小題10分，共30分） 能力 181 33 13 34 47 11 20 91 74 164 時間 50 135 165 138 122 184 155 80 88 52 ㈠試求出「能力」（y）對「時間」（x）之線性迴歸方程式，並計算判定 係數（coefficient of determination）。 ㈡試說明對「能力」作何種轉換（指數轉換：ݖ= ݁௬，或自然對數轉換： ݖ= ݈݋݃௘ݕ），可以使轉換後之變數與「時間」之線性相關程度提高？先 畫出原始資料中「能力」對「時間」之散布圖（scatter plot），並計算 二者之相關係數，再與轉換後之散布圖與相關係數做比較。 ㈢以轉換後之變數對「時間」作線性迴歸，得出迴歸方程式及判定係數， 並說明該判定係數之意義。

9 10 不良品數 15 18 13 22 12 8 16 15 16 25 五、桃園國際機場在106～108年各季之入境來臺外國旅客人數（單位：萬人） 統計如下表： 季 年 1 2 3 4 106 238 242 243 289 107 262 242 251 297 108 270 282 267 289 交通部統計單位根據上述資料，以移動平均法求算得到桃園國際機場在 106～108年各季之入境來臺外國旅客人數季節指數（單位：%）如下表： 季 1 2 3 4 季節指數( iS ) 98.67 96.47 94.57 110.29 ㈠試求經季節調整後之108年第4季在桃園國際機場入境來臺外國旅客人 數 108.4 y ？（5分） ㈡試以最小平方法求經季節調整後，在桃園國際機場入境來臺外國旅客 人數之長期趨勢方程式。（8分） ㈢請根據㈡之結果，試預測經季節調整後之109年第2季在桃園國際機場 入境來臺外國旅客人數 109.2 y ？（5分） 註1：本試題可能使用的統計表之參考值如下： 05 .4 ) 40 ,2 ( F0.025 ， 46 .3 ) 40 ,3 ( F0.025 ， 74 .2 ) 40 ,6 ( F0.025 ， 93 .3 ) 60 ,2 ( F0.025 ， 34 .3 ) 60 ,3 ( F0.025 ， 63 .2 ) 60 ,6 ( F0.025 ， 23 .3 ) 40 ,2 ( F0.05 ， 84 .2 ) 40 ,3 ( F0.05 ， 34 .2 ) 40 ,6 ( F0.05 ， 15 .3 ) 60 ,2 ( F0.05 ， 76 .2 ) 60 ,3 ( F0.05 ， 25 .2 ) 60 ,6 ( F0.05 註2：標準常態機率分配表，Z~N(0,1)