統計 109 年統計學考古題

甲公司開發X 電池，經測試估算得出X 電池之壽命（單位＝小時）服從 指數分配，機率密度函數為： ݂(ݔ) = ߣ݁ିఒ௫, ݔ≥0, ߣ= 1 2000 ⁄ 。 試問X 電池之平均壽命為幾小時？（5 分） 若僅有約5%的X 電池之壽命低於T 小時，試問T 為多少？（5 分） W 研究中心隨機抽取100 個X 電池，得出該樣本之平均壽命為1800 小時。試求母體平均壽命之95%信賴區間。（10 分）

設隨機變數X服從平均數 0  ，標準差為的常態分配；即X~N(0,

某行銷部門組長想研究新的網頁設計是否可以提高產品點擊率，假設造訪 該產品的線上使用者被隨機引導至新頁面A 或舊頁面B，經過一週之測 試所得的點擊數據如下表。令ܺ௜代表第݅個造訪新頁面之使用者是否點擊， 令ߨ஺與ߨ஻分別為新舊網頁之點擊率。 造訪人次 點擊次數 A 125 50 B 120 30 試問ܺ௜服從什麼機率分配？（5 分） 在0.01 的顯著水準之下，檢定新網頁是否有較高之點擊率？（10 分） 承作圖畫出p 值對應之區域。（5 分）

)， 又 1 1 1 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , n n n n n X X X X X X    … … 為抽自X之一組大小為n1 + n2之隨機 樣本，令統計量： 1 1 1 / n i i S X n    ， 1 2 1 2 2 1 / n n j j n T X      ， 1 1 2 1 2 1 2 1 1 n i i n n j j n n X U n X        及 1 1 2 2 2 1 2 1 1 n i i n n j j n X V n X       試問：（每小題5分，共20分） S之機率分配為何？ T之機率分配為何？ U之機率分配為何？ V之機率分配為何？ 二、設隨機變數X具有如下之機率分配f(x)： x 1 2

王主任部門有500 名職員，他對職員做了兩個月的英文聽力訓練，並讓他 們在訓練前與訓練後分別接受難易度相似的英聽測驗。下表是隨機抽取的 10 名職員之訓練前後的成績。（每小題10 分，共30 分） 訓練前 90 80 85 65 75 85 70 75 80 90 訓練後 95 84 80 70 75 90 73 72 82 92 在0.05 的顯著水準下，檢定訓練前後的母體之變異數是否相等？ 在0.05 的顯著水準下，使用t 檢定比較訓練前後之英聽能力是否有差異？ 承改用變異數分析方法F 檢定，試著移除職員間英聽能力之不同可能 帶來的干擾，比較訓練前後之英聽能力是否有差異？

f(x) 2  2 (1 )    2 (1 )   其中為未知參數，且0<<1。又已知抽自X之一組大小為n = 3的隨機樣 本資料為2, 1, 3。請根據此樣本資料：（每小題12分，共24分） 試以動差法（method of moments estimation）求之點估計值ˆ=？ 試以最大概似法（method of maximum likelihood estimation）求之點估 計值ˆ=？ 三、甲公司A廠為日產500個小型變壓器的工廠，該廠品管經理隨機抽出10天 的生產資料，並記錄其不良品數如下表： 根據此樣本資料，是否顯示該廠每日產品的不良品數中位數（M）為20？ 試取顯著水準= 0.05，以符號檢定法檢定之。（12分）

桂花園餐廳過去10 個月之營業額（萬元）與廣告花費（萬元）如下表： 廣告 15 16 12 13 15 9 10 3 3 2 營業 30 30 38 36 35 30 25 17 20 15 令營業額為依變數，廣告花費為自變數。試求出線性迴歸方程式。（6 分） 試問迴歸模型之基本假設。（4 分） 試做出此迴歸分析之變異數分析表。（10 分） 試求判定係數並解釋其意義。（5 分） 在0.05 的顯著水準下，試檢定斜率參數是否為零？（5 分）

某公司先後引進3部機器生產甲產品，公司管理部門想了解其生產效率之差 異，找了4位操作員分別在這3部機器上操作5次，這4位操作員在3部機器上 的操作順序完全隨機安排，今紀錄操作員完成生產的工作時間，共得到60 筆資料。若資料適合做變異數分析，且經電腦分析得到下列ANOVA表： 變異來源 平方和(SS) 自由度(df) 均方(MS) F值 F0.05(v1, v2) 操作員(A) 機器(B) A×B交互作用 誤差 16.80 6.22 3.66 46.08 3 2 6 48 5.60 3.11 0.61 0.96 5.83 3.24 0.64 2.81 3.20 2.30 總變異 72.76 59 在給定顯著水準= 0.05下，則： 操作員和機器間有無交互作用？請說明依據。（6分） 若不考慮交互作用，而將機器當做集區（Block），再做變異數分析。在 此模式下，請寫出其ANOVA表，並試問操作員之平均操作時間是否有 顯著差異？請說明依據。（10分） 若不考慮機器間的差異，只討論操作員的單一因子的變異數分析。則在 此模式下，請寫出其ANOVA表，並試問操作員之平均操作時間是否有 顯著差異？請說明依據。（10分） 天 1 2 3 4

鄭主任使用線上適性化平台來訓練其部屬的軟體操作能力，該平台依學習 者能力，適性調整每個人在線上接受訓練之時間，當能力達到精熟程度時， 該訓練即停止。以下是10名部屬在訓練前之能力評估分數（0～200分，分 數越高代表能力越強），以及達到精熟程度所需要之練習時間（分鐘）。 （每小題10分，共30分） 能力 181 33 13 34 47 11 20 91 74 164 時間 50 135 165 138 122 184 155 80 88 52 試求出「能力」（y）對「時間」（x）之線性迴歸方程式，並計算判定 係數（coefficient of determination）。 試說明對「能力」作何種轉換（指數轉換：ݖ= ݁௬，或自然對數轉換： ݖ= ݈݋݃௘ݕ），可以使轉換後之變數與「時間」之線性相關程度提高？先 畫出原始資料中「能力」對「時間」之散布圖（scatter plot），並計算 二者之相關係數，再與轉換後之散布圖與相關係數做比較。 以轉換後之變數對「時間」作線性迴歸，得出迴歸方程式及判定係數， 並說明該判定係數之意義。

9 10 不良品數 15 18 13 22 12 8 16 15 16 25 五、桃園國際機場在106～108年各季之入境來臺外國旅客人數（單位：萬人） 統計如下表： 季 年 1 2 3 4 106 238 242 243 289 107 262 242 251 297 108 270 282 267 289 交通部統計單位根據上述資料，以移動平均法求算得到桃園國際機場在 106～108年各季之入境來臺外國旅客人數季節指數（單位：%）如下表： 季 1 2 3 4 季節指數( iS ) 98.67 96.47 94.57 110.29 試求經季節調整後之108年第4季在桃園國際機場入境來臺外國旅客人 數 108.4 y ？（5分） 試以最小平方法求經季節調整後，在桃園國際機場入境來臺外國旅客 人數之長期趨勢方程式。（8分） 請根據之結果，試預測經季節調整後之109年第2季在桃園國際機場 入境來臺外國旅客人數 109.2 y ？（5分） 註1：本試題可能使用的統計表之參考值如下： 05 .4 ) 40 ,2 ( F0.025  ， 46 .3 ) 40 ,3 ( F0.025  ， 74 .2 ) 40 ,6 ( F0.025  ， 93 .3 ) 60 ,2 ( F0.025  ， 34 .3 ) 60 ,3 ( F0.025  ， 63 .2 ) 60 ,6 ( F0.025  ， 23 .3 ) 40 ,2 ( F0.05  ， 84 .2 ) 40 ,3 ( F0.05  ， 34 .2 ) 40 ,6 ( F0.05  ， 15 .3 ) 60 ,2 ( F0.05  ， 76 .2 ) 60 ,3 ( F0.05  ， 25 .2 ) 60 ,6 ( F0.05  註2：標準常態機率分配表，Z~N(0,1)