統計 91 年統計學考古題

有一選區計有37 人參選立法委員，應選10 位。選舉前，某機構對各參選人的支持 率進行民意調查；前20 位的支持率分別如下： 12.7% 7.4% 7.1% 6.5% 5.8% 5.4% 3.5% 3.4% 3.3% 2.7% 1.9% 1.8% 1.7% 1.7% 1.1% 0.8% 0.6% 0.5% 0.3% 0.3% 訪問對象為台灣地區20 歲以上男女，成功樣本數為1051 位；在95%的信心水準下， 抽樣誤差為± 3 個百分點。抽樣清冊為台灣地區所有家戶電話，以尾數2 碼亂數隨機 抽樣法進行抽樣（有32.1%未決定，有2.2%拒絕回答）。 請說明與解釋上述中的成功樣本數，信心水準與抽樣誤差是如何得知的。（10 分） 立法委員選舉的結果與選前的民意調查有落差，其中民調排名第4 位、第6 位與 第10 位落選，而第12 名、第13 名與第15 名當選。有了所謂的高民調低選票的 現象。請問可否以統計學的角度來解釋這種現象？如何改善這種現象，請簡述之。 （10 分）

假設X1, X2, X3 為一組取自二項分布B (3, 31 )的隨機樣本(即獨立同分布)。計算)XXX(E,)X|X2(E 322131 +。（20 分）

已知 ) X , X , X , X ( 4

設X1, X2,⋯, Xn，n＞1，為來自普阿松母體Poisson (λ)的隨機樣本。試舉出兩個λ 的不偏估計量。（10 分）若不偏估計量之形式為∑=niii1Xa，試找出ai，i =1,⋯, n，使此估計量之變異數為最小。（10 分）

2 1 服從多項式分布且 10 X X X X

某瘦身中心30 位會員瘦身前X 及瘦身後Y 體重之樣本統計資料如下：瘦身前樣本平均體重為55.00；瘦身後樣本平均體重為53.46瘦身前及瘦身後體重之樣本共變異數矩陣為XYX7. 012274 . 50309 Y4. 503091 2. 41188 令D = X－Y，請算出D 之樣本變異數。（10 分）請寫出檢定假設，以檢定瘦身中心瘦身是否有效？（2 分）請檢定瘦身中心瘦身是否有效？（顯著水準5%）（8 分）(t28, 0.05 = 1.701，t29, 0.05 = 1.699，t30, 0.05 = 1.697)四、考慮簡單線性迴歸模型：nixyiii,,1,Λ=ε+β+α=，其中),0(~2σεNi且相互獨立。假定就一組n = 7 的樣本，已知304,667,140,9,422=====ΣΣΣiiiiyxyxyx－－試求y 對x 的預測迴歸式bxay+=^。（6 分）試求x, y 的樣本相關係數r 及判定係數(coefficient of determination) R2，並說明二者的關係。（8 分）請檢定x, y 間的相關係數是否等於0？(令α = 0.05)（6 分）（t6, 0.05 = 1.943，t5, 0.05 = 2.015，t6, 0.025 = 2.447，t5, 0.025 = 2.571） 五、隨機區集設計的統計模型為：ijjiijYεβαµ+++=，kjai,,2,1,,2,1ΛΛ==，，∑∑====aibjji110βα，),0(~2σεNij，kjaiij,,2,1,,2,1,ΛΛ==ε，獨立。設iα 為A 因子之第i個水準的效果，jβ 為第j 個區集的效果，SST 表總平方和，SSA 表A 因子的平方和，SSB 為區集平方和。寫下SSA 及SSB 的公式，並求E(SSA)及E(SSB)。（10 分）若Yij的觀測值為yij，及定義211)(h⋅⋅+∑⋅−∑⋅−===－－－yyyyaijbjiij，其中及 。若已知 145661 081443 862121 2112 =∑⋅=∑⋅=∑∑====kjaiiaikjijjyyy－－，，， 36002 =⋅⋅－y及a = 3， k = 4，試求h 及SSA 的值。（10 分）ayykyyaiijjkjiji∑=⋅∑=⋅==11－－，akyyaikjij∑∑=⋅⋅==11－

3 2 1 = + + + 其機率參數為 ) p , p , p , p ( p~ 4 3 2 1 = 且 1 p p p p 4 3 2 1 = + + + 。請檢定 )1.0 , 15 .0 , 25 .0 ,5.0 ( p~ p~ : H 0 0 = = 對 ) 18 .0 , 27 .0 , 45 .0 ,1.0 ( p~ p~ : H 1 1 = = 。 試求顯著水準(level of significance) α 約為5%的MP(Most Power)檢定。（10 分） 對 中的檢定，其檢定力(power)為何？（10 分） 三、假設X1,X2,…,Xn 為一組獨立且相同分布的樣本，分布服從下面形式： θ e θ − = = ) ; 0 X ( P ， θ e θ θ − = = ) ; 1 X ( P ， θ θ e θ e θ − −− − = = 1 ) ; 2 X ( P 。 當n=2 時，請說明或解釋X1+X2 是否為一充分統計量？（10 分） 當k=0, 1, 2，定義 ∑ = = = n 1 i i k ) k X (I N 。對一般n 時請說明或解釋（N1, N2, N3）是否 為一充分統計量？（10 分） 九十一年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 高二：206-1 等 級： 二級考試 科 別： 統計 全一張 （背面） 四、已知X1, X2, …, Xn 是一組來自一致分布U(0,θ)的樣本，θ∈(0,1)。 請找出max{X1, X2 ,…, Xn}的分配函數(distribution function)。（10 分） 請找出一個信賴係數為90%之θ 信賴區間。（10 分）

生物學家設計了一個捕捉飛蛾的器具，以瞭解某種飛蛾的生態。第一次捕捉時發現 有Ｘ隻的飛蛾被紀錄；假設X 服從Poisson 分布且平均值λ，即 ! / ) ; ( x e x f x λ = λ λ − 當 x=0, 1, 2,…。後來發現這種飛蛾其實是兩種非常類似的飛蛾。進行第二次捕捉時，這 兩種飛蛾分別有Y1 和Y2 隻被紀錄；假設他們服從Poisson 分布且平均值分別為 1 λ 和 2 λ 且 2 1 λ + λ = λ 。今假設X,Y1 和Y2 為獨立的隨機變數。 請用X,Y1 和Y2 求出 1 λ 和 2 λ 的最大可能估計量(Maximum Likelihood Estimator)。 （10 分） 假設 1 λ 和 2 λ 的值都很大時，利用泰勒展開式，試求出 1 λ 估計量的近似變異數 (Approximate Variance)，請以 1 λ 和 2 λ 表示之。（10 分）