統計 91 年線性模式考古題

考慮一個簡單線性迴歸模式：（每小題10 分，共40 分） Yi=β0+xi β1+εi，i=1, 2, …, n， 其中E(εi)=0，Var(εi)=σ2，Cov(εi，εj)=0，i≠j。 試求β0 和β1 的最小平方估計量b0 和b1。 試證 中求出的b0 和b1分別為β0 和β1的最佳線性不偏估計量(best linear unbiased estimator (BLUE))。 假如Var(εi)=σ2 更改為Var(εi)=σ2ωi，試求β0 和β1 的加權最小平方估計量bw0 和 bw1。 試問 中求出的bw0和bw1 是否分別為β0 和β1 的最佳線性不偏估計量？（請回答並 證明之）

假設 Y1=α1+α2+ε1， Y2=2α2+ε2， 和 Y3= -α1+α2+ε３， 其中εi(i=1, 2, 3)是互相獨立且來自於N(0, σ2)分配。試導出對於檢定H：α1=2α2 的檢 定統計量及其在H 之下具有何種分配。（20 分）

假設Yi=βxi+ui，xi > 0(i=1, 2, …, n)，其中ui=ρui-1+εi 和εi是互相獨立且來自於 N(0, σ2)分配。假如βˆ 是β 的最小平方估計量，則試證當ρ>0 時，Var(βˆ ) > ( ∑ = n i ix 1 2 2 / σ )。 （20 分）

當真正的模式是E(Y)=β0+β1x+β2x2+β3x3 時，卻假設被要求的線性模式是 E(Y)= β0+β1x。現在假如我們利用在x= -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 中Y 的觀測值去估計 被要求的線性模式中β0和β1，則試求β0和β1的估計量之偏差(bias)。（20 分）