統計 100 年統計學考古題

若X1……Xn為某一地區香蕉每棵之生產量，其分配未知。我們關心分配之變異數σ2。若 我們知道 10 1 σ Var

美聯隊（American League Team）與國聯隊（National League Team）世界職棒七戰 四勝大賽，則請定義事件，並利用相關性質解答下列問題： 系列賽需進行(1)四場(2)五場(3)六場(4)七場比賽始能決定冠軍之情形有多少種？ （4 分） 每場比賽每隊有9 個打擊手，有多少種可能之打擊順序（batting orders）？（2 分） 系列賽需進行(1)四場(2)五場(3)六場(4)七場比賽始能決定冠軍之機率各為何？（4 分） 若美聯隊於每場系列賽獲勝之機率為p，且考慮比賽之場數（the number of games）， 則請定義必要之隨機變數（required random variable），並試求： 系列賽需進行(1)四場(2)五場(3)六場(4)七場比賽始能決定冠軍之機率各為何？（4 分） 該隨機變數之機率函數（probability function），並敘明其名稱。（10 分） 美聯隊獲冠軍之期望數（expected number of games）與變異數（variance）各為何？ （6 分）

假設一盒中有紅球r 個，N - r 個黑球。今隨機自盒中不重複抽取n 球，並記錄取出 紅球的個數為Y。 試求Y 之期望值與變異數。（10 分） 若 = N 10, = r 3, 4，求機率至少為5/9 時，Y 之範圍。（10 分） = n

1 i i = ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∑= ) X (X n 2 ⎞ ⎛ − 。請驗證下面表示是否正確： 9.0 1 ) X 2 ≥ ⎟⎟⎞ + − n (X σ 1 n ) X (X P n 1 i i 2 n 1 i 2 i ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ − − ∑ ∑ = = 。（20 分） 二、隨機樣本X1……Xn產自A地區，其分配為N(μx ,σ2) 及Y1……Ym產自B地區，其分配為N(μy ,2σ2)，其中σ2未知。這兩個分配獨立，請推導μy-μx之90%信賴區間。（25 分）

為研究試驗個體間之抽樣變異（sampling variability），於是從參加SAT 考試之學生 中隨機抽出5 位男學生與5 位女學生為樣本，女學生之分數分別為490、520、550、 580 與610 而男學生之分數分別為530、560、590、620 與650。若相關母體為常態， 且顯著水準（the level of significance）為5%，則： 請問男學生之平均分數是否高於女學生之平均分數15 分？（12 分） 請簡要說明單因子變異數分析設計（one-way ANOVA design）之必要假設為何？ （5 分） 若男學生與女學生分數滿足單因子變異數分析設計之必要假設，則： 請列理論之單因子變異數分析數學模式（Mathematical model of the one-way ANOVA）。 （2 分） 若顯著水準為5%，則： 請建立觀測之單因子變異數分析表（observed table of one-way ANOVA），並以危 險域法（critical region approach）與p 值法（p-value approach）檢驗男學生分數 是否較女學生分數平均高40 分？（16 分） 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政 （請接第 全九頁 31450 32050 第二頁

一個二元訊息X 或-2，自A 傳輸至B。傳輸過程會受雜訊N 干擾，於B 接收之 數據為 X＋N，其中N 為服從標準常態分布之雜訊。若R＞0.5，則判定原輸入 數據為2；反之，則判定原數據為-2。試求A 輸入之原數據為2 時，B 接收數據判 定錯誤之機率。（5 分） 2 = = Y R

使用除草劑除草也可能使果樹枯死。設A為舊品牌及B為新品牌除草劑。若PA及PB代 表A，B品牌的果樹枯死率。 想知新品牌是否可以取代舊品牌。你的假設為何？道理為何？（10 分） 若我們有YA，YB代表樣本數n＝100 及m＝100 之枯死數目。您的檢定方法為何？用 到何種理論？（15 分） B 若顯著水準α＝0.3 且YA＝10，YB＝10 結論為何？（10 分）

若共同基金x 與y 過去10 年之年報酬率（annual return rate）以百分率（percentage） 表列如下： 年度 基金 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 x 8.3 -6.2 20.9 -2.7 33.6 42.9 24.4 5.2 3.1 30.5 y 12.1 -2.8 6.4 12.2 27.8 25.3 18.2 10.7 -1.3 11.4 試求共同基金x 與y 年報酬率之相關係數（the coefficient of correlation）、不相關 係數（the coefficient of alienation）與判定係數（the coefficient of determination）。 （7 分） 若相關母體為常態, 且顯著水準為5%，則試問： 共同基金x 與y 年報酬率之相關係數是否超過0.8？（6 分） 若共同基金x 與y 之年報酬率滿足迴歸分析之必要假設，且以基金x 之年報酬率為自變數 （independent variable）而基金y 之年報酬率為應變數（dependent variable）之線性迴歸模 式（linear regression model）為Y = α + β x + ε而ε為隨機誤差（random error），則請： 分別求該線性迴歸模式α 與β 之估計值，並求該迴歸直線方程式？（8 分） 分別求α 與β 之99%信賴區間（confidence interval）？（8 分） 若共同基金x 年報酬率為25%，則試求： 共同基金y 平均年報酬率之95%信賴區間？（3 分） 共同基金y 年報酬率之95%信賴區間？（3 分） 頁） 三 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政 （請接第 全九頁 31450 32050 第三頁 The Normal Distribution 頁） 四 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政 （請接第 全九頁 31450 32050 第四頁 頁） 五 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政 （請接第 全九頁 31450 32050 第五頁 頁） 六 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政 （請接第 全九頁 31450 32050 第六頁 The F Distribution 1 頁） 七 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政 （請接第 全九頁 第七頁 頁） 31450 32050 八 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政 （請接第 全九頁 31450 32050 第八頁 頁） 九 100 年公務人員升官等考試、100 年關務人員升官等考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政 全九頁 31450 32050 第九頁 （請接第 頁） (Continued)

令 為具獨立同分布、期望值 n 2 1 , , Y , Y L λ / 1 的指數（exponential）隨機變數，試求 λ 的最大概似估計（Maximum Likelihood Estimate），並驗證其是否具不偏性 （unbiasedness）與一致性（consistency）。（15 分）

在研究k 個生產線之平均產能是否相同時，我們各別抽取隨機樣本如下： 1 2 … k ) ( iid X ~ 1...n i 1i 1 = ) ( iid X ~ 1...n i 2i 2 = … ) ( iid X ~ 1...n i ki k = 其中k 個( )表示k 個母體的分配 在以變異數分析來檢定母體平均數是否相等時，此k 個分配( )必須何種假設。（5 分） 設X 為樣本總平均， j X 為第j 群的樣本平均。請問 2 k 1 j n 1 i 2 ji σ ) X (X j ∑ ∑ = = − 及 2 k 1 j n 1 i 2 j ji σ ) X (X j ∑ ∑ = = − 分配為何？（10 分） 當顯著水準α＝0.05 且檢定之P值為0.03，應該拒絕或接受H0之假設？理由為何？（ 5 分）

若 具獨立同分布在 2 1 Y , Y )1 θ ,θ ( + 之均勻分布（uniform distribution），檢定 0 θ : H0 = vs. ，考慮拒絕域 5.0 θ : Ha = c Y Y 2 1 > + 。 試求c 值，使其型一誤差（TypeⅠerror probability）為0.02。（10 分） 試求之檢定的檢定力（power）。（10 分）

假設 為一隨機樣本，其母體分配具有密度函數： n X X ..., , 1 0 , ) , ( > = − x e x f x θ θ θ 。考慮假設 ： 0 H 0 θ θ ≤ vs ： 1 H 0 θ θ > ，在顯著水準α 下，請利 用概似比檢定導出檢定規則。（20 分）

在工廠環境安全調查中發現，工廠A 在過去6 週中發生意外事故的次數分別為 16, 9, 17, 19, 24, 8，而工廠B 在過去4 週中發生意外之次數則分別為26, 30, 25, 28。 假設工廠每週意外事故之次數服從獨立同分布的卜瓦松分布，在顯著水準5%下， 試求檢定兩工廠之安全環境是否相同時之p-value（不需化簡）。（10 分） 六、下表為二元資料配適迴歸模型所得的部分輸出報表： 來源（Source） 自由度（df） 平方和（Sum of squares） 模型（Model） 1 307.247 誤差（Error） 8 63.653 總和（C. Total） 9 370.900 試求判定係數（coefficient of determination） 值。（5 分） 2 R 在那些條件下，可以檢定迴歸模型的顯著性？（5 分） 假設之條件成立，檢定迴歸模型是否顯著。（ , 臨界值（critical value） ）（5 分） % 5 α = 32 .5 = 七、下表為一完全隨機設計（complete randomized design）實驗的觀測數據： 處理項（Treatment） 觀測值（Observations） 1 2 1 3 2 1 5 3 9 5

4 4 3 4 5 試寫出ANOVA 表（Analysis of Variance Table），並做出F 檢定的結論。 （ , 臨界值（critical value） % 5 α = 07 .4 = ）（15 分）