統計 100 年統計學考古題

若X1……Xn為某一地區香蕉每棵之生產量，其分配未知。我們關心分配之變異數σ2。若 我們知道 10 1 σ Var

1 i i = ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ∑= ) X (X n 2 ⎞ ⎛ − 。請驗證下面表示是否正確： 9.0 1 ) X 2 ≥ ⎟⎟⎞ + − n (X σ 1 n ) X (X P n 1 i i 2 n 1 i 2 i ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ − − ∑ ∑ = = 。（20 分） 二、隨機樣本X1……Xn產自A地區，其分配為N(μx ,σ2) 及Y1……Ym產自B地區，其分配為N(μy ,2σ2)，其中σ2未知。這兩個分配獨立，請推導μy-μx之90%信賴區間。（25 分）

使用除草劑除草也可能使果樹枯死。設A為舊品牌及B為新品牌除草劑。若PA及PB代 表A，B品牌的果樹枯死率。 ㈠想知新品牌是否可以取代舊品牌。你的假設為何？道理為何？（10 分） ㈡若我們有YA，YB代表樣本數n＝100 及m＝100 之枯死數目。您的檢定方法為何？用 到何種理論？（15 分） B ㈢若顯著水準α＝0.3 且YA＝10，YB＝10 結論為何？（10 分）

在研究k 個生產線之平均產能是否相同時，我們各別抽取隨機樣本如下： 1 2 … k ) ( iid X ~ 1...n i 1i 1 = ) ( iid X ~ 1...n i 2i 2 = … ) ( iid X ~ 1...n i ki k = 其中k 個( )表示k 個母體的分配 ㈠在以變異數分析來檢定母體平均數是否相等時，此k 個分配( )必須何種假設。（5 分） ㈡設X 為樣本總平均， j X 為第j 群的樣本平均。請問 2 k 1 j n 1 i 2 ji σ ) X (X j ∑ ∑ = = − 及 2 k 1 j n 1 i 2 j ji σ ) X (X j ∑ ∑ = = − 分配為何？（10 分） ㈢當顯著水準α＝0.05 且檢定之P值為0.03，應該拒絕或接受H0之假設？理由為何？（ 5 分）

假設 為一隨機樣本，其母體分配具有密度函數： n X X ..., , 1 0 , ) , ( > = − x e x f x θ θ θ 。考慮假設 ： 0 H 0 θ θ ≤ vs ： 1 H 0 θ θ > ，在顯著水準α 下，請利 用概似比檢定導出檢定規則。（20 分）

4 4 3 4 5 試寫出ANOVA 表（Analysis of Variance Table），並做出F 檢定的結論。 （ , 臨界值（critical value） % 5 α = 07 .4 = ）（15 分）