交通技術 100 年統計學概要考古題

413604 156044 060一、公司某一部門共10 個人參加了輪盤遊戲，中獎機率為0.1。如果每人玩1 次遊戲，那這個部門沒人中獎的機率為何？（7 分）如果每人玩3 次遊戲，那這個部門至少中獎1 次的機率為何？（7 分）假定中獎的獎金為10 萬元，又只讓該部門的兩個人各玩遊戲5 次。那該部門可獲獎金的期望值為何？（6 分） 二、在某一工作環境中，若溫度控制在22°～26°中，則產品品質合格（良品），否則為不良品。若溫度為一隨機變數X，其平均為24°，變異數為0.25°。請問生產一個產品其為良品的機率至少為多少？（12 分）如果生產1,600 個產品，期望至少多少個產品為良品？（8 分） 三、假設X1,…, Xn為一隨機樣本，其母體分配為N(μ, 1)。請推導出μ的90%信賴區間。（8 分）如果希望上述區間長度為0.5，請問樣本數n 至少為多少？（12 分）（註：若)(ααzZP≥=，則33.201.0=z，645.105.0=z，28.11.0 =z，05.0=z） 四、某一種植物的成長與陽光強度有某種關係。令Y 表示植物成長速度及X 表示光的強度，具有下面聯合機率密度函數：⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其它點且, 01010 ,24),(52yxyyxyxfxy我們有興趣的是當陽光強度X = 0.5 時，植物成長速度的平均值，即)5.0|(=XYE，請導出)|(xXYE=之公式，（15 分）並計算)5.0|(=XYE。（5 分） 五、假設我們有一簡單迴歸模型如下：nixyiii,,1,10L=++=εββiε ～),0(2σNiid設及為最小平方估計量及+x 具有常態分配0ˆβ1ˆβ0ˆβ1ˆβ)))()(1(,( 122210 ∑=−−++niixxxxnxNσββ，我們也知2))ˆˆ(( 12102 −+−=∑=nxySniiiββ滿足22)1(σSn −～。)2(2−nχ另外2S 與獨立。請導出)ˆ,ˆ(10 ββx10ββ +之100)1(α−%信賴區間。（20 分）

若某塑化公司之工安事故次數服從卜瓦松分配（Poisson Distribution），平均每半年 發生一次，則： 在未來一年內發生工安事故次數之平均數及變異數分別為何？（10 分） 在未來半年內不會發生工安事故的機率為何？（5 分） 請概算在未來18 年內發生工安事故總次數介於30 到42 的機率為何？（10 分）

考慮一個簡單線性迴歸問題： 若判定係數r2 = 1，則SSE（Sum of Square Error）之值為何？（5 分） 若r2 = 0.64，則自變數與因變數之相關係數之值為何？（5 分） 若迴歸式為Ŷ = 12+1.8x，n = 32、SSR = 225、SSE = 75、Sb = 0.2683（斜率之估計 量的標準誤），可得假設檢定 斜率= 0 之t值為何？（5 分） : 0 H 在中， 2 /σ SSE 的分配為何？（5 分） 在中， 斜率= 0，在 : 0 H 05 .0 = α 下，你如何下結論？（5 分）

考慮一個母體比例 的估計問題，假設蒐集200 個觀測值，得樣本比例 p 4.0 ˆ = p 。則：  的實際分配為何？（5 分） pˆ  的平均數及變異數分別為何？（10 分） pˆ  的近似分配為何？（5 分） pˆ  的95%信賴區間為何？（5 分） p

檢定兩個伯努力（Bernoulli）母體的平均數 、 是否相等時，若兩組獨立隨機樣 本數分別為 與 ，且兩組樣本之成功總數分別為 與Y ，則： 1p 2 p 1n n X 2 在 時， 的分配為何？（5 分） 2 1 p p = Y X + 當 、 相等時，如何估計這個相等的平均數？（5 分） 1p 2 p 若想檢定 時，檢定統計量為何？（5 分） 2 1 0 : p p H = 在 時，檢定統計量的分配為何？（5 分） 2 1 0 : p p H =  ，若檢定統計量的計算值為 -0.2，則P-Value 約是何值？ 2 1 1 : p p H ≠ 下列4 個答案取1 個或自行填寫正確表示法： (A) P(Z < -0.2) (B) P(t < -0.2)，其中t 的自由度為 2 1 n n + -2 (C) 2P(Z > 0.2) (D) 2P(t < -0.2)，其中t 的自由度為 2 1 n n + -2 （5 分）