電子工程 92 年數位信號處理考古題

請推導出6 點之decimation-in-time 快速傅立葉轉換 (fast Fourier transform；簡稱 FFT) 演算法，並畫出對應的信號流程圖 (signal flow graph)；請以矩陣型式 (matrix form) 表示此演算法。（25 分）

假設x[n]為一很長之資料序列 (data sequence)，且令x[n]通過一有限脈衝響應濾波 器 (finite impulse response filter)，其中濾波器之脈衝響應長度為50。 （25 分） 請說明如何利用128 點之FFT 及overlap-add 技巧計算此濾波器之輸出結果。 請說明如何利用128 點之FFT 及overlap-save 技巧計算此濾波器之輸出結果。

假設一個穩定、線性非時變離散系統具有下列轉換函數 (transfer function)：（25 分） 2 1 1 75 .0 1 5.0 1 ) ( − − − − − − = z z z z H 當此系統的輸入信號為x[n]=(0.5)nu[n]時，對應的輸出信號y[n]為何？ (※ u[n]為unit step sequence) 當此系統的輸入信號為 n n x ) 5.0 ( ] [ = 時，對應的輸出信號y[n]為何？ 當此系統的輸入信號為x[n]=(0.5)n 時，對應的輸出信號y[n]為何？

已知一類比Butterworth 低通濾波器的轉換函數為 2 2 2 2 ) ( b b b a s s s H ω ω ω + + = 請利用impulse invariance 方法求出對應的數位濾波器轉換函數，其中取樣週期為T。 （10 分）

已知一系統的轉換函數為 1 1 1 1 * ) ( − − − − = az a z z H ，其中a* 是a 之共軛複數且 1 < a ； 請證明此系統為一all-pass 系統。 已知一causal、線性非時變離散系統具有下列轉換函數： ) 64 .0 1( ) 4 1 )( 5.0 1( ) ( 2 2 1 2 − − − − + − = z z z z H 請將H2(z) 表示成一minimum-phase 系統Hmin (z) 及all-pass 系統 Hap(z) 的乘積， 亦即H2(z)=Hmin(z)Hap(z)；請分別求出Hmin(z) 及Hap(z)。（15 分）