微積分考古題｜歷屆國考試題彙整

假設函數 ( ) f x 的導函數為

5 4 ( ) ( 1) ( 3) ( 6) f x x x x      ，請問在那些區間 內函數 ( ) f x 是遞增的？（10 分） 二、假設函數 2 ( ) 9 f x x   ，0

x  ， 8 a 。（15 分） 證明 ( ) f x 是一對一函數。 試求 ( ) f x 的反函數 1( ) f x  ，且說明反函數 1( ) f x  的定義域和值域。 試求 1 ( ) f a  ( ) 。 三、令函數 2 6 ( ) 2 x x f x x     ，試求：（10 分）  2 lim ( ) x g x   ，  2 lim ( ) x g x   ，  2 lim ( ) x g x  。

假設( ) 9 g x x   ，請利用微分的定義求( ) g x 的微分式，同時說明( ) g x 和 ( ) g x  的定義域。（20 分）

試求由 1 x y e  ， 2 x y xe  ，和 0 x 三條曲線所圍區域的面積。（15 分）

函數 3 ( ) 12 12 y x x x    ，試求：（15 分） 函數的遞增或遞減區間， 函數的相對極大值與相對極小值，以及 函數的上凹或下凹區間，與反曲點。

一個質點的運動方程為 3 ( ) 3 s t t t   ，其中位置s的單位是公尺（meter）， 時間t的單位是秒（second）。試求：（15 分） 以時間t表示的速度函數和加速度函數。 當速度為0 時的加速度。

請回答下列問題：（每小題10 分，共20 分） 

2 1 ( ) 1 x F x x   為有理函數，請說明F 的定義域及函數的連續性。 若P元存入銀行帳戶，年利率為r ，n為每年複利次數，t 年後帳戶餘 額A的公式為： (1 )nt r A P n   當n越大時，1 年後帳戶餘額A趨近於何值？ 二、令函數 4

2 ( ) 3 1 f x x x x    ，請討論函數圖形的凹性。（20 分） 三、某產品x 單位的邊際成本為d 32 0.04 d C x x   ，若生產一單位的費用為50 元， 試求生產200 單位的總成本為何？（20 分）

求函數 2 ( ) f x x x   與x 軸所圍成區域對x 軸旋轉的立體體積。（20 分）

請證明常態機率密度函數 2 2 1 ( ) 2 x f x e    圖形的反曲點在 1 x 。（20 分）

Find formula for the composite function f o g and g o f with 1 ( ) 1 f x x  and

( ) 1 g x s  。（計算合成函數f o g 和g o f 當 1 ( ) 1 f x x  and 2 ( ) 1 g x s  ） （5 分） 二、Show that the equation

2 1 x x   has at least one solution in the interval [ 1,1]  。（證明方程式 3 2 1 x x  在區間[ 1,1]  內至少有一個解。）（15 分） 三、Find / dy dx if 1 2 ln sin 1 ( ) ( y x    )。 （求 1 2 ln sin 1 ( ) ( y x    )的dy dx 。）（20 分）

Let 2 ( ) f x x px q    . Find the values of p and q such that 1 2 f  is an extreme value of f on [0, 2]. Is this value a maximum or minimum？（方程 式 2 ( ) f x x px q    。求p 和q 的值，使得1 2 f  是f 在[0, 2]上的極 值。這個值是最大值還是最小值？）（25 分）

Find y if 2 1 dx x dy   and (3) 1 y 。（若 2 1 dx x dy   且(3) 1 y ，求y。） （20 分）

(3)　(3) 20 分

Find the volume of the solid that is obtained when the region under the 1 y x   over the interval [1, 4] is revolved about the x-axis.（求當區間 [1, 4]下 1 y x  圖形所圍成的區域繞x 軸旋轉時所生成的固體體積。） （15 分）

試求極限值lim ௫→଴ ଵି௘షೣ ௘ೣିଵ。（10 分）

試利用隱微分法（implicit differentiation）運算 求ݔଷ+ ݕଷ−6ݔݕ= 0之切線斜率 ௗ௬ ௗ௫。（10 分） 求通過指定點（ ସ ଷ, ଼ ଷ）的切線方程式。（5 分）

試求函數݂(ݔ) = ݔ(ݔ−4)ଷ 反曲點（Points of Inflection）（如果存在）。（7 分） 並判斷凹性（Concavity）之開區間。（8 分）

定積分∫ √ݎଶ−ݔଶ݀ݔ ௥ ି௥ 請將以上定積分所欲求之面積區域畫出。（4 分） 並計算定積分面積。（6 分）

兩曲線方程式ݕ= ݔଶ, ݕ= 4ݔ−ݔଶ 試求以上兩曲線方程式，繞著x 軸旋轉轉動之物體體積。（10 分） 試求以上兩曲線方程式，繞著y = 6直線軸旋轉轉動之物體體積。（10 分）

試利用分部積分法，求不定積分∫ ଶ௫ାଵ √௫ାସ݀ݔ。（15 分）

請利用     0 lim x f x x f x f x x       求證 ௗ ௗ௫[ݏ݅݊ݔ] = ܿ݋ݏݔ。（15 分）

2

( 1) ( ) ln 2 +1 x x f x x   ，試求 ( ) f x  。（10 分） 二、在x y  平面上，有一曲線的斜率為 2 3 1 x ，且通過點(1, 2)，試求此曲線。 （10 分） 三、假設 1 2 tan ( 1) y x x     ，試求dy dx 。（10 分）

試求 3 3 lim 1 n n n         。（10 分）

試求積分 3 2 2 3 1 x dx x x x       。（15 分）

試求 0 2 1 3 2 dx x x     。（15 分）

試求極平面上，在圓半徑 2 r  外部且在心臟線 2(1 cos ) r    內部的 面積。（15 分）

有一均勻物質薄片，其形狀是由 sin y x  與 cos y x  之間所圍成的圖形， 圖形於第一象限內，且在 0 x 到 / 4 x   的區域，假設此一物質的密度 是常數k，求此一薄片的質心。（15 分）

找出  3

f x x   之反函數。（10 分） 二、找出  2 1 , 0 4, 0 x x f x x x       之極限值，當x 趨近於0 時。（10 分）

找出   1 3 cos y x   之微分。（10 分）

找出   100 3 99 y x   之微分。（10 分）

找出   2 3 3 y x   之絕對最小值。（10 分）

找出  2 2 3 8 16 x f x x    之水平漸近線。（10 分）

求 2 3 x x d t dt dx 。（10 分）

求   2 3 2 0 2 3 x x dx   。（10 分） 九、求   1 tan 2x dx   。（10 分） 十、找出 3 2 y x  之弧長從  0,0 到  1,1 。（10 分）

試求極限值

2 0 1 1 lim sin x x x         。（10 分） 二、令   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x f g x f x g x    。已知 (1) (1) 1 f g  ， (1) (1) 2 f g    ，求 (1) h 。（15 分）

(1)　(1)　(1) 15 分

令 3 2 ( ) 2 3 12 18 F x x x x     ，求 ( ) F x 在區間  2,3  上的最大值與最小值。 （15 分）

令   2 1 0 ( ) 1 sin 1 cos x G x t t t t dt       ，試求函數 ( ) G x 的圖形在點   1, (1) G 之切線方程式。（15 分）

(1) 15 分

試求不定積分  3 2 2 cos3 x x e x x e dx   。（15 分）

試求曲線線段 3 2 2 , 0 3 3 y x x   的長度。（15 分）

令區域R 為曲線 2 1 3 x y       與曲線 1 3 x y  所包圍的區域。將區域R 圍 繞y 軸旋轉一圈，生成空間一實體V。使用殼形法（Shell Method）求實 體V 的體積。（15 分）

定義函數 。試求 之值。（10 分） ∫ + = x x xt t dt e x F cos sin

) ( ) 0 (' F （註：須在使用處說明所使用的定理或法則的名稱。） 二、試求適當的實數a 和b 滿足下列極限等式。（15 分） lim ௫→଴ቀ ୲ୟ୬ଶ௫ ௫య + ௔ ௫మ+ ୱ୧୬௕௫ ௫ ቁ= 0 （註：須在使用處說明所使用的定理或法則的名稱。）

試求橢圓 1 16 9 2 2 = + y x 與直線 6 = + y x 的（最短）距離。（15 分）

試求曲線線段 x x y 1 12 3 + = ， 的長度。（15 分） 4 1 ≤ ≤x

導出下列遞迴公式：  n n n x x x x 1 sin cos d cos 1 n n − + = ∫ − ∫ ≥ − 2 , d cos 2 n n x x 。（9 分） （註：只有導出此遞迴公式才給分。） ഏ 並求 ׬ cosଵ଴ݔdݔ మ ଴ （6 分） cosଵ଴ݔdݔ ഏ మ 之值。 （註：可直接用上列遞迴公式求׬଴

定義區域 ܴ 為曲線ݕ= ݔଶ+ 1 和線ݕ= 2ݔ+ 1所包圍的區域。讓區域ܴ 用圓 ܦ的體積。（15 分）（註：限使用圓盤法才給分。）

考慮弧線 ݕ= √4 −ݔଶ 之值。） 圍繞ݔ軸旋轉，生成空間一實體 ܦ。使 盤法（disk method）求出實體 ，−1 ≤ݔ≤1。試求將這個弧線圍繞 ݔ 軸旋轉而 獲得的旋轉曲面之面積。（15 分）

一橢圓曲線表為C ，試求C 於點 之切線方程式。（10 分）

/ 2 , 2 − y ) 2 ,1 ( = 二、已知曲線 與點 2 2

x x − + = ) , ( y x 之最近距離為d，試求d 之值。（10 分） 三、試求極限值 1 2 2 + ∞ − x 2 ) sin( 3 lim − + → x x x ( ) x x x / 1 0 1 lim + + → 。（10 分）

試求極限值 。（10 分）

試求定積分 dx x x I ∫ + = 9 2) 1 ( 1 ∫ = I 2 4 x y − = 2 + = 之值。（15 分） 1

試求不定積分 。（15 分） ( ) dx x 2 ln x y 兩線所圍束區域之面積。（15 分）

試求 與

一平面區域D 由 a y x = + 0 = 0 = y x 3 a kπ = 、x 及 所圍而成，令D 對軸旋轉一周所形成 之實體體積為V 且V ，試求k 之值。（15 分）