消防警察人員 115 年微積分考古題

假設函數 ( ) f x 的導函數為

5 4 ( ) ( 1) ( 3) ( 6) f x x x x ，請問在那些區間 內函數 ( ) f x 是遞增的？（10 分） 二、假設函數 2 ( ) 9 f x x ，0

x ， 8 a 。（15 分） 證明 ( ) f x 是一對一函數。 試求 ( ) f x 的反函數 1( ) f x ，且說明反函數 1( ) f x 的定義域和值域。 試求 1 ( ) f a ( ) 。 三、令函數 2 6 ( ) 2 x x f x x ，試求：（10 分） 2 lim ( ) x g x ， 2 lim ( ) x g x ， 2 lim ( ) x g x 。

假設( ) 9 g x x ，請利用微分的定義求( ) g x 的微分式，同時說明( ) g x 和 ( ) g x 的定義域。（20 分）

試求由 1 x y e ， 2 x y xe ，和 0 x 三條曲線所圍區域的面積。（15 分）

函數 3 ( ) 12 12 y x x x ，試求：（15 分） 函數的遞增或遞減區間， 函數的相對極大值與相對極小值，以及 函數的上凹或下凹區間，與反曲點。

一個質點的運動方程為 3 ( ) 3 s t t t ，其中位置s的單位是公尺（meter）， 時間t的單位是秒（second）。試求：（15 分） 以時間t表示的速度函數和加速度函數。 當速度為0 時的加速度。