刑事警察人員 100 年數位訊號處理(DSP)考古題

若一線性非時變系統之輸入x[n]與輸出y[n]之關係如下列差分方程式 ]1 [ 3 1 ] [ ]1 [

1 ] [ − + = − − n x n x n y n y 試求此系統脈衝響應h[n]之傅立葉轉換 ) ( ω j e H 。（10 分） 若輸入訊號為一白雜訊（white noise）訊號，其自我相關函數（autocorrelation function） ，請表示出輸出訊號y[n]之自我相關函數 ] [ ] [ 2 n n x xx δ σ φ = ] [n yy φ 之頻率響 應 ) ( ω φ j yy e 。（10 分） 二、請計算離散訊號 ]1 [ )

1 ( ] [ ) 5 1 ( ] [ − − − − = n u n u n x n n 之z 轉換及其z 平面上收斂範圍，並 繪出zero 及pole 點之位置。（20 分） 三、請繪出八點x[0]~x[7] decimation-in-time 之快速傅立葉轉換（FFT）之Flow Graph。 （20 分）

如圖為降頻取樣系統，輸入訊號x[n]，其z 轉換表示為X(z)，試求輸出訊號y[n]之 z 轉換Y(z)。（20 分） H(z) x[n] ↓2 y[n] 降頻取樣系統

已知對一維離散訊號x=[x0, x1, .., x3]T之離散餘弦轉換（Discrete Cosine Transform） 公式為 ∑ ⎥⎦ ⎢⎣ + = = )k 2 (n 4 cos x X n 3 0 n k ⎤ ⎡ 1 π , k=0, 1, 2, 3。此運算式可表示為線性轉換 y = ATx，請表示出線性轉換矩陣 A。（10 分） 給予一影像訊號I ，請利用小題的線性轉換矩陣 A 表示影像 訊號I 之二維離散餘弦轉換。（10 分） ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 30 03 00 x x x x L M O M L