消防警察人員 104 年工程數學考古題

求解xe，3)，1)0(= 。（20 分）yyy 43554 −=+′+′′0(−=y′y二、 函數)(xf的拉氏轉換（Laplace Transform）定義為，其中{})(xf代表)({}∫∞−==0)()()(dxexfxfLsFsxLxf的拉氏轉換。已知)(xf和)(xf ′在),0[∞連續，拉氏轉換存在。請證明)(xf ′的拉氏轉換為)0(。（10 分）{})x=)(fs −(sFfL′請推導出}x 。（10 分）{L5cos三、以級數方法（series method）求解以下的微分方程式初始值問題（initial value problem）022=+′+′′yyxy，1)0(= ，1)0(= 。假設解為，求出6 個係數：a0，a1，a2，a3，a4，a5。（20 分）y′y∑==0nnnxay∞四、考慮函數⎟⎠⎞⎜⎝⎛=zxyzyxGn1),,(，其中ln(.)是自然對數函數（natural logarithm function）。求),,(zyxG在點⎟⎠⎞⎜31,1,於2i+6j-3k 方向之方向導數（directional derivative）。（20 分）⎝⎛621五、已知函數,)(π+= xxfππ<<−x的傅立葉級數（F o u r i e r s e r i e s ）為=)(xfnxnnnsin)1(211∑∞=+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+π。利用傅立葉級數收斂的特性可以得到=−−∑∞=+11)1(121nnnπBA=−+−+−L 917151 311。試求出A 和B 之值。（20 分）