高普考_交通技術 104 年統計學考古題

一盒中放有編號1，2，3，4，5 之大小、形狀、重量完全相同的5 顆球。今由此盒 隨機抽一球，若抽出為n 號球，則投擲n 個正、反兩面出現機率均等之均勻的銅板。 （每小題10 分，共20 分） ㈠試求最後投擲之銅板中剛好有3 個正面的機率。 ㈡試求投擲之銅板出現正面次數的期望值。

投擲三個均勻銅板4 次，令X 表4 次投擲中三個銅板都是反面的次數，Y 表4 次投 擲中三個銅板只有出現一個反面的次數。（每小題10 分，共20 分） ㈠試求X 與Y 皆小於1 的機率。 ㈡試求 1 = −Y X 的機率。

設隨機變數X 與Y 相互獨立，且各別具有自由度為2 與3 之卡方分配 ) 2 ( 2 χ 與 ) 3 ( 2 χ 。 令隨機變數 Y X X T + = 。（每小題10 分，共20 分） ㈠試求T 之機率密度函數 ) (t f 。 ㈡試求T 之變異數 ) (T Var 。

假設 n X X X , , , 2 1 K 為抽自具有常態分配 ) , ( 2 σ μ N 之隨機樣本。（每小題10分，共20分） ㈠若μ 和 2 σ 為未知的參數，且設c 滿足 90 .0 ] [ 1 = ≤c X P ，試求c 之最大概似估計量 （maximum likelihood estimator）。 ㈡若μ 已知為1， 2 σ 為未知的參數，試求滿足 90 .0 ] [ 1 = ≤c X P 之c 的 )% 1( 100 α − 信 賴水準的信賴區間。 （已知若隨機變數Z 具有標準常態分配，則 90 .0 ] .1 [ = < Z P ）

考慮建立簡單直線迴歸模型 n i X Y i i i , ,2,1 , 2 1 K = + + = ε β β ，且假設 n i ε ε ε ε K , , , 3 2 為 相互獨立且具常態分配 ) ,0 ( 2 σ N 之隨機誤差。（每小題10 分，共20 分） ㈠試求 1 β 與 2 β 之最大概似估計量， 1ˆβ 與 2ˆβ 。 ㈡試求題㈠中， 1ˆβ 與 2ˆβ 之相關係數。