刑事警察人員 99 年計算機數學考古題

在一個宴會場合有n 個人，互相握手。有些人互相握了手，有些人沒有互相握手， 任何兩人之間頂多只互相握手一次，不重複握手。（16 分） 用an代表握手次數為奇數的人數。試證明an必是偶數。 證明其中必有兩個人，其握手次數是相同的。

S={1, 2, 3,…, n} （16 分） 由S 到S 的一對一函數（one-to-one）共有多少種？ 由S 到S 的映成函數（onto）共有多少種？ 由S 到S 的一對一，且映成函數，而且又滿足f(i)≠i for all i=1 to n 共有多少種？

有一個n 階的樓梯，我們每走壹步可以跨一階或兩階。 試問總共有多少種不同的走法？ 例如n = 3 可以有1, 1, 1 或1, 2 及2, 1 共3 種走法。 用an代表總共有多少種不同的走法，寫出an的遞迴關係並求其解。（16 分）

有n 個編號袋子，1 號袋、2 號袋、… n 號袋。 每一個袋子都裝了a 個白球與b 個黑球。從第1 號袋子中隨機抽出一個球，將其放 入第2 號袋子。然後從第2 號袋子中隨機抽出一個球，將其放入第3 號袋子。如此 依序做下去3, 4, ..., n，最後在第n 號袋子中隨機抽出一個球。 問題：若第1 次在第1 號袋子抽出的是白球。試求出最後在第n 號袋子抽出的也是 白球的機率。（16 分）

假設我們要替很大的一群人抽血檢驗是否帶有某種病菌。由於檢驗一個血液樣本很 費時，我們可以把好幾個人的抽血樣本混合在一起做為一個檢驗單位，一次檢驗這 一個單位。 假設這個合併的血液單位，一次檢驗，如果檢驗結果是沒有病菌（negative result）， 則這幾個人全部都沒有病菌。但若檢驗結果是有病菌（positive result），則這幾個 人必須再重新抽血，一一個別檢驗一次。目標是希望總共檢驗次數少一點。 假設共有N 個人，每k 個人分為一組，共有n 組，且N = kn。 若對這N 個人都個別一一檢驗，需要N 次檢驗（individual test）。 若每k 個人一組合併血液作一次檢驗，可能最少只需n = N/k 次檢驗（若所有N 個 人都沒有病菌）。但最多則需n + N 次檢驗（若每一組都有人帶有病菌）。 假設每一個人帶有病菌的機率是p，且都互相獨立無關（independent）。在每一組k 個人是否帶有病菌也都獨立無關。（18 分） 試計算並推導出上述分組檢驗，總共檢驗次數的期望值。 若N = 100, p = 20/100, k = 2。試計算這樣的分組檢驗，其總共的檢驗次數期望值 是多少？ 99年公務人員特種考試警察人員考試及 99年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 類 科： 刑事警察人員犯罪分析組 全一張 （背面） 六、從一個常態分布（normal distribution）N(µ,σ2)的母體，取出n個隨機樣本（random sample）x1, x2, x3, …, xn。（18 分） 試推導出mean µ及variance σ2的maximum likelihood estimator。 上述的estimator 是否unbiased estimator？若是，證明之。若否，則寫出一個unbiased estimator 並證明它的確是unbiased。