土木工程 113 年材料力學考古題

有一ABCD 水平桿件如下圖所示，AB 段橫斷面面積 4

參考（圖1）之方向定義，試寫出梁的撓曲變形函數u(x)與分布載重q(x) 之間的關係式，並列舉有關此式至少三個基本假設。試以此關係式出發， 推導圖1 左端固定之懸臂梁撓曲變形函數，以及梁右端點b 之順時針旋 轉傾斜角θ 與垂直向下位移∆。令EI 為此梁之撓曲剛度，qo 為載重係數， 兩者皆為常數。（25 分） （圖1）

1 A 10 10 m    ， BCD 段橫斷面面積 4 2 2 A 8 10 m   。ABCD 桿件之A 點為固定端，D 點 與牆面有一間隙 4 δ 2 10 m    存在。設L 2 m  ，桿件之彈性係數 E 200 GPa  。當B 點受一集中力P 5 kN  ，且C 點受一集中力Q 20 kN  時，D 點是否會碰觸到牆？試求P 及Q 作用下，此桿件在A 點與D 點 所受之水平力，並註明反力之方向。（25 分） 二、有一矩形梁受兩個集中載重如下圖所示，A 點為鉸支承，B 點為滾支承， C 點為自由端。如此梁之最大容許彎曲應力為10 MPa，且最大容許剪應 力為0.5 MPa ，試求P 之最大值為何？（25 分）

一根三夾板梁由兩種彈性材料組成，夾心層材料之彈性係數為 Es=200000 MPa，上下兩外層由材料Ea=50000 MPa 所製成。各層具有矩 形斷面，且各層之斷面積相同，皆為A=20 mm2，長度L=1200 mm。心 層與外層之熱膨脹係數分別為s=1.0×10-5(1/℃)與a=2.0×10-5(1/℃)。此 梁將被安裝於兩剛性牆面之間，事先預留=0.2 mm 之微小間隙使其暫不 受力，如（圖2）所示，此時若將溫度均勻提高T=20℃，試問升溫後組 合梁內部所受之總軸力F 為何？如果心層與外層之材料容許應力分別為 s=10.0 MPa 和a=5.0 MPa，則升溫上限為何？（25 分） （圖2） x L q(x)=qo(x/L)2 u a b s

有一60應變計組合，安裝在圓柱形壓縮空氣儲槽表面如下圖所示。應變計 A 的紀錄為 a 6 100 10   ，應變計B 與C 的紀錄相等，且 b c 6 280 10   。 如果儲槽的半徑r 與厚度t 之比值r/t 20  ，且儲槽內部空氣壓力為 p 4 MPa  ，計算儲槽材料的彈性係數E 和柏松比。（25 分） 提示： x y x y xy x' cos2 sin2 2 2 2       

圓弧形彎梁左端固定於剛性牆面，座標與尺寸標示如（圖3），梁斷面為 均勻實心方形20 mm×20 mm 斷面，材料彈性係數E=200000 MPa，柏松 比v=0.25，剪力係數G=80000 MPa，現於梁之自由端施加一垂直於梁身 之水平力P=20 N（x-方向），試計算點a 處梁內最大法向應力σxx 與點b 處最大剪應力τxy，以及絕對最大法向應變εmax 與絕對最大剪應變γmax。 （25 分） （圖3）

有一連續梁ABCDE 如下圖所示，A 點為固定端，B 點為鉸支承，C 點 為鉸接，D 點為滾支承。此梁於C 點受到一集中載重P，如梁斷面彎矩 勁度為EI，求A、B 及D 點之反力（可包括彎矩）。並計算C 點之位移、 D 點之轉角及E 點之位移。請註明反力、位移及轉角之方向。（25 分） 提示：a b L   2 Px v(x) (3a x), 0 x a, 6EI     2 Pa v(x) (3x a), a x L. 6EI    

一水平梁承受若干垂直力與平面內力矩，梁斷面內正值之剪力與彎矩定 義如（圖4a），其剪力圖（單位kN）與彎矩圖（單位kN．m）示意如（圖 4b），試完成剪力圖並推估此梁之所有受力與力矩。（25 分） 1 m x y P 1 m a b r  梁內正剪力 梁內正彎矩 （圖4a） 剪力圖 彎矩圖 2 m 2 m 4 m 0 0 （圖4b） -16 22 -18 0