電力工程 109 年工程數學考古題

2244Czzdzzz，其中積分路徑C 為圓24z 之順時針（clockwise）方向圓周（circle）。（4分）三、已知一RC 電路系統可由微分方程式（differential equation ）( )5 ( )=5 ( )d y ty tx tdt表示，其中x(t)為輸入，且y(t)為輸出。假設2( )(3/ 5)( )tx teu t，且初始條件（initial condition）(0 )2y，求y(t)。（8分）已知一訊號x(t)的單邊拉普拉斯轉換（unilateral Laplace transform）為：22221( )(2)ssX ses s請求該訊號x(t)的初值（initial value）及終值（final value）。（8分）34470四、求k 使得Axb，其中12313214261031111A，1234xxxxx，366kb；（7分）如小題，求矩陣A 的行列式值（determinant）。（3分）請求以下線性系統的解1123212331232233dxxxxdtdxxxxdtdxxxxdt，其中x1(0)=1，x2(0)=0及x3(0)=1/2。（10分）本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。1對稱矩陣ۯ = ൭102000204൱，其對角化矩陣（diagonal matrix）۲ = ۾ۯ۾ିଵ，其中۾ 是正交矩陣，求۲ =？

൱ (B)൭100000005൱ (C)൭000020005൱ (D)൭100020005൱2矩陣ۯ和۰，令det ۯ = 6和det ۰ = 2，求det ۯ۰ି૚=？12

(B)3 (C)0 (D)3設܉為常數向量（constant vector），ܚ= ݔ࢏+ ݕ࢐+ ݖ࢑，∇=డడ௫࢏+డడ௬࢐+డడ௭࢑，下列何者錯誤？

−145ቍ (C)ቀ31206240ቁ (D)ቌ213639−1−ଵଶ−ଷଶቍ7下列那一個是適合的積分因子（integrating factor ），乘上它以後，將使微分方程式(x+y)dx+xln(x)dy=0變成正合（exact）？

tyyyt e，其中(0)2,(0)6yy。以拉普拉斯轉換（Laplace transform）求解後得到2()2( )()dbscY ssa，則下列何者錯誤？

設ݕ= ܿଵ݁௫+ܿଶ݁ିଶ௫+ܿଷݔ݁ିଶ௫為微分方程ݕᇱᇱᇱ+ ܽݕᇱᇱ+ ܾݕᇱ+ ܿݕ= 0的通解（general solution），其中ܽ, ܾ, ܿ, ܿଵ, ܿଶ, ܿଷ為常數，下列何者正確？

求積分方程݂(ݐ) = cos ݐ+ ∫݁ିఛ݂(ݐ−߬)݀߬௧଴的解。

令連續隨機函數X 具有機率密度函數݂(ݔ) = ൜݇ݔଶ, 0 ≤ݔ≤10 , otherwise ，求其變異數（variance）ߪଶ。（其中k 為常數）

令連續二維隨機變數X 和Y 具有機率密度函數݂(ݔ, ݕ) = ൜݇ݔݕ, 0 ≤ݔ≤1 and 0 ≤ݕ≤10 ,otherwise，求其機率ܲ(ܺ> 0.25, ܻ> 0.5)。（其中k 為常數）

求複變函數積分∮ቀୡ୭ୱ୦௭(௭ିగ)య−ୱ୧୬మ௭(ଶ௭ିగ)యቁ݀ݖ஼，其中積分路徑ܥ為逆時鐘方向繞圓周|z| = 3。

求複變函數積分∮௓(௭ାଵ)(௭మାଵ) ݀ݖ஼，其中積分路徑ܥ為逆時鐘方向繞橢圓周16ݔଶ+ ݕଶ= 4。

複變函數݂(ݖ) = ݖଶସ−3ݖଶ଴+ 4ݖଵଶ−5ݖ଺，求݂ቀଵା௜√ଶቁ=？

z 為一複數，若Γ 是平面中一個包含原點z=0之封閉路徑，∮ୡ୭ୱ(௭)௭݀ݖ୻=？0

曲線C 為平面上一個正向簡單封閉路徑，則2cos(2 )sin(2 )C xy dxxy dy=？4

令一曲線C 為22,,, 01xtyt ztt，則2zC x dxyzdye dz=？

下表所示為x 及y 機率質量函數（probability mass function, PMF），則X 與Y 之共變異數COV(X,Y )=？x1=1x1=0x1=−1y1=101/41/4y2=−11/41/40