電力工程 97 年控制系統考古題

有一個單位回饋控制系統如下圖所示： 其中受控體為( ) 7 4s s 3 s s G

+ + + = ，控制器為( ) 1 s 1 s C + = ，則 此系統輸出對輸入的轉移函數（transfer function）為何？（10 分） 利用魯斯法則（Routh’s Criterion）判定此系統是否穩定？（15 分） 二、證明終值定理（Final Value Theorem）： 若 f(t) lim t ∞ → 存在，則( ) sF(s) lim f(t) lim f 0 s t → ∞ → = = ∞ ，其中F(s)=ℒ{f(t)}，即F(s)是f(t)的拉 普拉斯轉換（Laplace transform）。（15 分） 考慮以下四個函數的拉普拉斯轉換  ℒ ( ) { } ( ) ( )1 s s 7 s F t f 1 1 + = =  ℒ ( ) { } ( ) )1 s(s 2 s s F t f 2 2 2 + + = =  ℒ ( ) { } ( ) ( )

s s 7 s F t f 3 3 − = =  ℒ ( ) { } ( ) ( )2

4 1 s s 2 s s F t f + + = = 各函數的終值為( ) ∞ 1f 、 ( ) ∞ 2f 、 ( ) ∞ 3f 與 ( ) ∞ 4f ，其中那些終值可以利用終值定理 來計算？其值為何？（10 分） 三、給定系統的開路轉移函數（open-loop transfer function）如下： ( ) ( ) ( )( ) 2 s 1 s s K s H s G + + = 在複數平面上，每一個複數s 相對應於一點σ+jω，即s = σ+jω。 畫出∞>K≥0 時之根軌跡圖（root locus），在圖中必須標示極點、根軌跡與實軸 的交點、根軌跡與虛軸的交點等的複數值，以及這些點相對應的K 值。（15 分） 利用根軌跡圖說明系統的穩定性。（10 分） G(s) C(s) + + 輸入 輸出 受控體 控制器 97年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 電力工程 全一張 （背面） 四、給定系統狀態方塊圖（state block diagram）如下： 其中u 為系統輸入，y 為系統輸出，三個積分器的輸出由右至左分別為x1、x2與x3。 令狀態向量 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 x x x x ，若系統狀態方程式為 u b Ax x + = & ，輸出方程式為 cx = y ，其 中A、b 與c 之矩陣大小分別為3×3、3×1 與1×3，則A、b 與c 三個矩陣為何？ （15 分） 此系統是否具有狀態可觀測性（observability）？（10 分） 2 4 −2 −1 u y x1 x2 x3