電力工程 113 年工程數學考古題

1請證明矩陣A 為可逆（invertible）。（5 分）請計算矩陣A 的行列式（determinant）。（5 分）請求取矩陣A 的反矩陣（inverse matrix）。（10 分）如果用B 代表矩陣A 的反矩陣，則B4的行列式數值為何？（10 分）本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。本試題或申論試卷上作答者，不予計分。1令矩陣A =1221

663

9942112

895，則矩陣A 的秩rank(A)為何？ (A)5 (B)4 (C)3 (D)22下列何者為二階常微分方程式x2 d2ydx2 −xdydx −3y = 0的解（c1, c2為任一實數（real values））？ (A)y = c1x−1 + c2x3 (B)y = c1xି1 + c2xି3 (C)y = c1x + c2x3 (D)y = c1x + c2xି33令T：R2 →R2為一個線性映射函數，其定義為T(x, y)=(2x + y, 3x + 4y)，則下列何者錯誤？ (A)函數T 之零核空間（null space）的維度為0 (B)函數T 的秩（rank）為2 (C)函數T 為一對一函數 (D)函數T 之列空間（row space）的維度為04令矩陣A =023030abc為一斜對稱矩陣（skew symmetric matrix），其中a, b, c 為實常數，則下列何者錯誤？ (A)a = 2 (B)a, b 兩數乘積ab = 6 (C)a, c 兩數乘積ac =6 (D)b, c 兩數乘積bc = 95若矩陣A =1234123412341234xxxx，則其行列式det(A)為何？ (A)x3(10+x) (B)x3(10+4x) (C)24(10+ x4) (D)30(10+4x4)

下列何者不是矩陣A =013233211的特徵向量/固有向量（characteristicvector/eigenvector）？ (A)1 1 1TI  (B)11 1TJ  (C)1 1 1TK  (D)11 1TL 

下列給定的矩陣，何者不可對角化？ (A)2314A (B)0110B (C)1/ 21/ 61/ 61/ 2C (D)3417D

空間R3 中的四點A(1, 0, 1)、B(2, x, 4)、C(5, 5, 7)與D(8, 8, 10)共平面，則x 為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

微分方程式(y + x3)dx = xdy 滿足y(1) = 2 的解為y = ax3 + bxc ，其中a, b, c為實常數，則下列何者正確？ (A)1a  (B)12b  (C)2c  (D)1c 

令週期函數1,10( ),( )(2)1, 01xf xf xf xx，其傅立葉級數（Fourier series ）展開為4( )(sin()sin(2)f xaxbxsin(3)cxsin(4))dx，其中a, b, c, d 為實常數，則a+b+c+d 之值為何？ (A)43 (B)43 (C)13 (D)13

若使(4x2y3xy2)dx＋(x32x2y)dy＝0 為正合（exact）的積分因子為xm yn，其中m 與n 皆為實數，則m+n 之值為何？ (A)2 (B)1 (C)1 (D)2

下列各組函數，何者不為線性獨立（linearly independent）？ (A)ex、e－x、e2x，x (B)ln x、ln x2、ln x3，0x (C)1、x、x2，x (D)1、cos x、sin x，x

微積分式0( )( )cos()dty tyt，(0)1y之解為何？ (A)( )sin2ty tt (B)2( )sin2ty tt (C)( )12ty t  (D)2( )12ty t 

複變函數21( )(2) (4)zf zz zz，若C 為逆時針方向繞圓周3z 的路徑，則下列何者是積分( )C f z dz之值？ (A)18i (B)18 i (C)124 i (D)124 i

複變函數1( )(1)(2)f zzz，針對區域12z對函數( )f z 展開可得21( )f zazbzcdz，其中a, b, c, d 為實常數，則下列何者正確？ (A)1a  (B)1b  (C)12c  (D)14d 

下列複變函數何者不滿足柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equation）而為不可解析函數（極點除外）？（其中,1zxiy i） (A)(z)cos( )sin( )xxfeyiey (B)22( )Re(z )Im(z )f zi (C)232(z)3(z4z)f (D)(z)sin( )cosh( )cos( )sinh( )fxyixy

下列何者是複數方程式426160ziz的其中一根？（其中1i ） (A)1 i (B)1 2i (C)2i (D)22i

已知隨機變數323ZXY的變異數（variance）為54，其中X 的變異數為22X，且X 與Y 的共變異數（covariance）為2XY，則隨機變數Y的變異數2Y為何？ (A)7 (B)5 (C)3 (D)1

已知隨機變數X 和Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為,,01( , )0,X Yxyxyfx y其他，則下列何者正確？ (A)2X 的期望值（expected value）21E10X (B)2Y 的期望值（expected value）21E8Y (C)X 的期望值（expected value）1E15X  (D)Y 的期望值（expected value）1E5Y 

某電流自P 流至Q 需經過a、b、c 三個並聯的開關。已知a、b、c 個別接通之機率分別為0.4、0.5 與0.6；a 與b 均接通之機率為0.2；b 與c 均接通之機率為0.3；a 與c 均接通之機率為0.24；a、b、c 均接通之機率為0.12。試求電流自P 流至Q 之機率為何？ (A)0.88 (B)0.76 (C)0.70 (D)0.64