電力工程 112 年工程數學考古題

sin ,(0)0,(0)0yyxxyy

2 ,d ydyyydxdx（15 分）二、設0.90.10.20.8A。求解A的特徵值（eigenvalue）與對應的特徵向量（eigenvector）。（4 分）求解2A 的特徵值與對應的特徵向量。（4 分）解limnnAA。（7 分）三、請利用留數（residue）計算220 (1)dxx。（10 分）四、設X 與Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）是2()( , ), 0, 0= 0,00x yXYfx yexyxy或其中0。設ZXY。求Z 的期望值（mean）。（5 分）求Z 的累積分布函數（cumulative distribution function）。（5 分）34570本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1考慮函數22( , , )2x y zx yyz，請決定梯度( , , )x y z在點(1, 1,2)之值為何？ (A)4i2 j8k (B)4i2j8k (C)4i2j8k (D)4i2 j8k2若i為內積運算，為外積運算，請計算(2ij) (i3jk) (3ik)i之值為何？ (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

0

圍線積分22()c y dxxyxdy其中c 為由直線yx與拋物線2y x所圍成的封閉路徑，利用格林定理（Green’s theorem）將此積分化成面積分( , )Ru x y dxdyK，其中R 為封閉路徑c 所圍的區域，請問( , )u x y 與K 分別為何？ (A)( , )2u x yyx，120K  (B)( , )2u x yxy，140K  (C)( , )2u x yxy，120K  (D)( , )2u x yyx，140K 

A：（每小題5 分，共15 分）求矩陣（matrix）A之特徵值（eigenvalues）與特徵向量（eigenvectors）。求矩陣函數Ate。求系統方程式（system equations ）1122223dx tx txtdtdxtxtdt之通解（general solution）。三、擲四枚硬幣（Flip four coins），試驗結果有16 種結果（outcomes）：1216,,...,o oo ，其中1oHHHH,2oHTHH,…,16oTTTT；若定義隨機變數（random variable）X 為：jX o出現背面（T ）的硬幣數目，例如：10X o,21X o；P 為隨機變數X 之機率分布（probabilitydistribution），例如：01/16P,14 /16P。（每小題5 分，共10 分）求此隨機變數X 之均值（mean）或期望值（expected value）：X。求此隨機變數X 之標準差（standard deviation）或變異數的開根號（square root of the variance）：X。35760四、複數函數11zzef zzz：（每小題5 分，共10 分）求f z 在1z 與1z 的留數（residue）。閉合曲線（closed curve）C 為圓2z ；利用柯西（Cauchy）留數定理（Residue Theorem）求複數線積分11zCzedzzz。6357本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1某能量場可用函數222( , , )0.5(22)x y zxxyyz表示。該能量場在點( 1,0,1)P 的最大變化率（rate of change）為何？ (A)3 (B)2 (C)2 (D)32令矩陣13

下列那一個向量不在矩陣1472

2

83

2

9A之列空間（row space）？ (A)3914 (B)222 (C)61524 (D)1235矩陣46A35經由對角化得120P AP01，下列何者是P 矩陣？ (A)21P11 (B)12P21 (C)22P21 (D)22P226假設矩陣124021033A，計算行列式值1det(3)det()3TcAA，?c  (A)18 (B)28 (C)244 (D)234

918A2691913425，則下列選項中何者為矩陣A 的秩數（rank）？ (A)4 (B)3 (C)2 (D)13考慮聯立方程組Ax =0，其中8 10AR 。若此方程組的通解含有6 個任意常數，則A 的值域空間（range space）維度（dimension）為何？ (A)8 (B)6 (C)4 (D)34給定兩向量1 12Tu 及21 1Tv ，下列選項何者錯誤？ (A)此兩向量的範數（norm）乘積為6 (B)此兩向量的內積（inner product）為3 (C)此兩向量的外積（cross product）為333T (D)此兩向量的夾角為35T 為R2 到R3 的線性轉換，且滿足1(4 )10T uv，0(23 )13Tuv。T(u)＝？ (A)31

假設A 為n n矩陣，下列那一個敘述不等效（equivalent）於其他敘述？ (A)A 可被正交對角化（orthogonally diagonalizable） (B)A 為對稱（symmetric）矩陣 (C)可為A 找到或建構n個正交規範特徵向量（orthonormal eigenvectors） (D)A 的行列式值det1A 

5 12 (B)3175 12 (C)3712 (D)37126若103020002A存在可逆矩陣P 可將其對角化為1100020002P AP。則P 的第一行行向量為何？ (A)011 (B)101 (C)110 (D)100357607令矩陣341A041001，則A2 的特徵值（eigenvalues）不是下列那一個選項？ (A)9 (B)1 (C)16 (D)4

下列子集合何者為3R 的子空間（subspace）？ (A)( , ,2 ) |,a b aba bR (B)2(0, ,) |a aaR (C)(1, ,0) |aaaR (D)( , ,1) |,a ba bR

下列矩陣何者是不可被「對角線化（diagonalizable）」？ (A)1121 (B)1101 (C)1211 (D)2111

定義1i ，複變數zxiy與其共軛複數zxiy。下列何者在整個複數平面皆為可解析（analytic）？ (A)( )f zz (B)( )(cossin )yf zexix (C)22( )2f zxyixy (D)( )(cossin )xf zeyiy34570

考慮微分方程式( ) ( ), ( ) ( )0dya x b y a x b ydx 。若乘上積分因子( , )x y後可將此方程式轉換成正合（exact）微分方程式，則μ 為下列何者？ (A)( )a x (B)1( )a x (C)( )b y (D)1( )b y

定義1i ，假設方程式210zzi的兩個解為1z 與2z 且12zz，則下列何者正確？ (A)121 2zzi (B)121 2zzi (C)11z  (D)22z 

考慮微分方程式232cos( )sin( )1, (0)1,(0)0d ydydyxx yxydxdxdx。若此方程式的級數解可表示為0( )nnny xc x，則3c 為何？ (A)313c  (B)316c  (C)316c  (D)313c 

32(5)()( )() (1)(4)z zzif zzizz，且c 為3z 逆時鐘轉之封閉路徑，請決定( )( )cfz dzf z之值為何？ (A)4 i (B)4 i (C)6 i (D)6 i

函數f(t)之拉普拉斯轉換（Laplacetransform）為ℒ( )f t，令ℒ21( )(1)f ts s，則下列何者正確？ (A)( )1ttf ttee (B)( )1ttf ttee (C)( )1ttf ttee (D)( )1ttf ttee

請利用複數積分決定2 3(1)dxx之值為何？ (A)32 (B)34 (C)36 (D)38

函數( )2cos(3 ),03f ttt，若在t = 0 處，f (t)的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂到A，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到B；在3t處，f(t)的傅立葉餘弦級數（Fouriercosine series）收斂到C，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到D。則A,B,C,D 各值為何？ (A)0,0,0,0ABCD (B)2,0,2,0ABCD (C)0,2,2,0ABCD (D)2,0,2,0ABCD

一階常微分方程式22332(AB)(2125)0x yy dxx yxydy為正合（exact），A、B 值為何？ (A)A2, B3 (B)A3, B3 (C)A3, B4 (D)A4, B3

已知函數1( ),0a tf teaa，則下列何者為函數f (t)的傅立葉轉換（Fourier transform）(1i )？ (A)222()ia a (B)222()ia a (C)222a (D)222a

給定微分方程22(4) dyyxdx，當初始值00(, ())xy x落在下列那一個xy 平面區間時，該微分方程可能不會有唯一解（unique solution）？ (A), 22xRy (B),2xR y (C),2xR y (D), 11xRy

考慮複變函數3223( )(3)(3)f zxxyix yy，其中zxiy。則( )df zdz為何？ (A)22( )( 6)(33)df zxyixydz (B)22( )(33)(6)df zxyixydz (C)2222( )(33)(33)df zxyixydz (D)( )f z 不可以微分

已知週期為6 的函數( ), 33f xxx，展開成01( )cos 3nnn xf xaa，下列何者正確？ (A)126a (B)3223a (C)52825a (D)721249a

考慮複變函數（complex function）21( )25zf zzz，若C 為逆時鐘繞圓周12zi的路徑，且積分∮f (z)dz = a + bic，則下列選項何者正確？ (A)2a (B)a (C)2b (D)b35760

函數1if1( )0otherwisexf x之傅立葉轉換（Fourier transform）為下列何者？ (A)1sin2ww (B)sin2ww (C)1cos2ww (D)cos2ww

給定複變數函數2( )(1)(3)f zzz，針對區域13z對函數( )f z展開可得12( )f zazbczdz……，則下列選項何者正確？ (A)13a  (B)13b  (C)13c  (D)13d 

下列那個函數（t 為獨立變數）無拉氏轉換（Laplace transform）？ (A)t (B)1t (C)sintt (D)1t

某元件使用壽命X （單位：小時），其機率密度函數（probability density function）為( )0.005,0kxf xex。則k 值及元件平均使用壽命為何？ (A)0.005k ，平均使用壽命200 小時 (B)0.005k ，平均使用壽命∞小時 (C)0.005k ，平均使用壽命200 小時 (D)0.005k ，平均使用壽命∞小時

假設X 為一離散隨機變數（discrete random variable），其值為2、1 與3 的機率分別為(2)0.4P X 、(1)0.5P X 與(3)0.1P X 。則期望值2[21]?EX  (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

某雜訊的機率密度函數（probability density function）為1,3的均勻分佈，其變異數（variance）為A。經過增益為5 的放大器放大以後，其變異數為B。則A,B 各值為何？ (A)420,33AB (B)4100,33AB (C)1680,33AB (D)16400,33AB

某間製造公司專門生產發電機，在甲、乙、丙三地各有一間工廠，各工廠產量分別占總產量的40%(甲)、25%(乙)、35%(丙)，各工廠生產產品的不合格率分別為3%(甲)、2%(乙)、4%(丙)，則整間公司發電機產品的不合格率為？ (A)2.5% (B)3.2% (C)3% (D)3.1%

令隨機變數X,Y的聯合機率密度函數（Joint probability density function ）為,(12 ),02,01( , )0,X Ykxyxyfx y其他，其中k 為實數，則下列何者正確？ (A)12k  (B)邊際機率密度（Marginal probability density function）為( ),024xg xx (C)邊際機率密度（Marginal probability density function）為12( ),014yh yy (D)條件機率密度（conditional probability density function）為12(),012yf y xy

設X、Y 及Z 為三個隨機變數，且聯合機率密度函數為1 , 0, ,1( , , )0 ,x y zf x y z其他，請決定X3Y5Z的機率為何？ (A)140 (B)340 (C)540 (D)740

給定兩向量213412TTuv及，分解12uuu為，其中1u 為u 在v 的垂直投影（orthogonalprojection），則下列選項何者錯誤？ (A)向量120510777Tu (B)向量2u 的範數（norm）21617u (C)兩向量2,u v 的外積（cross product）為零向量 (D)兩向量12,u u 的內積（inner product）為零