電力工程 112 年控制系統考古題

考慮一個二階線性系統，輸入為( ) u t ，輸出為( ) y t ，並給定初值 0 (0) y y  ， 0 (0) y v   ，系統方程式如下所示： ( ) 4 ( ) ( ) ( ) y t y t y t u t      , 0 t  再令( ) Y s 與 ( ) U s 分別為輸出與輸入的拉普拉斯轉換（Laplace transform）。 若( ) ( ) ( ) Y s H s U s  ，求轉移函數 ( ) H s ？（5 分） 令( ) 4 ( ) ( ) u t y t c t   ，( ) C s 為( ) c t 的拉普拉斯轉換， 若( ) ( ) ( ) Y s G s C s  ，求 ( ) G s ？（5 分） 若( ) cos 2 c t t  ，則當t 時，輸出為( ) cos( ) y t A t     ， 求A、與各為何？並說明為何( ) y 與初值 0y 與 0v 無關。（15 分）

考慮下列之單位負回授系統： 其中 1 ( ) ( 2)( 5) s G s s s s     。 畫出 0 K  的根值軌跡圖（root locus），可簡略標示但必須包括此軌跡 與虛軸交點之位置、在實軸上的分離點、以及漸近線。（15 分） 當K   時，系統具有兩個純虛根以及一個實根s   ，求與各為 何？（6 分） 當系統為穩定時，K 值的範圍為何？（4 分） G(s) K +  U(s) Y(s)

給定系統狀態方程式如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t u t y t t    x Ax b cx 其中輸入為( ) u t ，輸出為( ) y t ，系統狀態向量( )t x 以及系統矩陣A、b 與 c 分別為 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) x t t x t x t           x , 1 0 1 0 2 1 1 0                A , 0 1 0      b ,   0 0 1  c 當( ) 0 u t  時，若此系統為穩定，求的範圍為何？（5 分） 此系統是否具有狀態可控性？請說明理由。（5 分） 此系統是否具有狀態可觀測性？請說明理由。（5 分） 當 1 時，此狀態方程式可化為三階微分方程式如下： 2 1 0 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t a y t a y t a y t b u t b u t b u t            求係數 2 a 、 1a 、 0 a 、 2b 、1b 與 0b 各為何？（10 分）

考慮一個離散型系統，輸入為[ ] u k ，輸出為[ ] y k ，方程式如下： [ 3] 0 45 [ 2] [ 1] 0 54 ( ) [ 1] 0 5 [ ] y k . y k n y k . y k u k . u k          其中n 為常數， 0 1 2 3 k , , , ,  。 令( ) Y z 與 ( ) U z 分別為輸出與輸入的z 轉換（z transform），則此系統的 轉移函數為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y z Q z H z U z P z   ，其中( ) P z 與( ) Q z 為z 的多項式函數， 求( ) P z ？ ( ) Q z ？（8 分） 當n   時，此系統有一個特徵根為0 75 . ，求？（5 分） 當n   時，此系統是否為穩定？請說明理由。（5 分） 若n   且[ ] 1 u k ，則當k 時，[ ] y k   為常數，求？ 並說明為何[ ] y k 為常數。（7 分）