電力工程 110 年控制系統考古題

有一線性非時變系統之動態方程式如下所示：       0 1 0 1 1 1 t t u t a b y t t               x x x 且系統狀態之初值為 0      x 。 令a、b、與為給定之常數，並利用拉普拉斯轉換（Laplace transformation）之技術可求得    Y s H s U s G s   ，其中U(s)與 Y(s)分別為輸入u(t)與輸出y(t)的拉普拉斯轉換式，試求出  H s 及  G s 。（16 分） 若 1 與 0 ，且系統輸入為 1 u t ， 0 t ，若所求得之輸出可表示 為   

5

J s Y s s s s    ，試求出a，b，與 J s 。（9 分） 二、已知一閉迴路系統方塊圖如下圖所示： 其中  2 1 1 s G s s   且  Y s H s R s  。 求  H s =？（9 分） 若此閉迴路系統為穩定，且有一特徵根為1 時，則 1 K 與 2 K 之關係式 為何？（8 分） 於條件下， 2 K 之範圍為何？（8 分） G(s) Y(s) R(s) +  三、已知一單位負回授系統之方塊圖如下圖所示： 其中  2 2 2 2 s G s K s s     ，0 K  。 請畫出根值軌跡圖（root locus plot），並標示極點與零點。（5 分） 在極點上的離開角（departure angle）為何？（5 分） 根值軌跡進入實軸之分離點（break-in point）為何？（5 分） 此分離點所對應的K=？（5 分） 閉迴路系統穩定時，K 值範圍為何？（5 分）

考慮一倒立單擺，如下圖所示： 其中 x t 為台車的位置，t  為單擺的旋轉角度， F t 為推動台車的外 力。當t  很小時，其動態方程式可表為        2 1 2 1 1 1 0 2 3 2 M m x t mL t F t mLx t mL t mgL t                  為了利用外力  F t 將此倒立單擺控制在垂直角度 0 t   ，通常將此動 態方程式簡化為下列之微分方程式：    1 2 t a t a t bF t         ， 其中輸入為  F t ，各常數係數 1a 、 2a 、b可由M 、m、L、g 來表示。 請利用M 、m、L、g 來表示 1a ， 2a ，與b。（9 分） 當  0 F t  ，即在無外力之情況下，請根據 1a 與 2a 來判斷系統是否穩 定，並說明理由。（6 分） 為了控制單擺至垂直角度 0 t   ，設計    1 2 F t k t k t      來達到 控制目標，若受控後之系統穩定特徵根為與，請利用 1a 、 2a 、b、 、來表示 1k 與 2k 。（10 分） (t) g (重力加速度) M m, L F(t) x(t) 台車質量M 單擺質量m 單擺長度L G(s) Y(s) R(s) + 