電力工程 92 年工程數學考古題

令 sin ( ) t f t t π π = 。 求其傅利葉積分(Fourier integral) ( )exp( ) f t j t dt ω ∞ −∞ − ∫ 。(10 分) 計算 2( ) f t dt ∞ −∞∫ 。(10 分)

一隨時間t呈弦波變化之函數( ) cos( ) v t A t ω φ = + ，其中A是振幅、ω 為角頻率、φ 是相位， 可以定義對應之相量(phasor)為複變數V ，則( ) Re{ exp( )} v t V j t ω = 。 求V 。(10 分) 設 1( ) v t 與 2( ) v t 之角頻率同為ω ，且其對應之相量為 1V 及 2 V 。求算二函數乘積對時間平 均值以 1V 及 2 V 表示之公式。(10 分)

對一場量 ( , , ) f x y z ，試證 ( , , ) f x y z = 常數之表面與 ( , , ) f x y z 之梯度正交。(10 分) 沿梯度之方向可得該場量之最大方向導數。(10 分)

求底下偏微分方程之二個一般解 2 2 2 2 0 u u z t ∂ ∂ − = ∂ ∂ 。(20 分)

令 2 ( ) 1/(3 2 1) f z z z = − −，z 為複變數。計算 ( ) C f z dz ∫ ，其中C 為 一半徑為ε (趨近於0)且以1 0 j + 為中心之圓，直接積分做答。(10 分) 2 jt z e = ， t π π − ≤≤。(10 分)