電子工程 112 年通訊系統考古題

離散隨機變數（discrete random variable）X 與Y 具有下表的聯合機率質 量函數（jointly probability mass function）： P(x,y) x＝-1 x＝0 x＝2 y＝-1 0 1/4 0 y＝0 1/3 0 1/6 y＝1 0 1/4 0 請詳述理由來判斷X 與Y 是否無關（uncorrelated）。（7 分） 請詳述理由來判斷X 與Y 是否獨立（independent）。（7 分） 請計算此聯合隨機變數X 與Y 的熵值（entropy），H(X,Y)，衡量單位以 位元（bits）來表示。換句話說，請你以2 為底來執行相關的對數計算。 註：log23≒1.585。（6 分）

考慮一組由下面的4 個字碼（codeword）組成的二位元碼（binary code）， 其字碼長度（codeword length）為n＝5，且訊息長度（information length） 為k＝2。亦即，C＝{(00100),(10010),(01001),(11111)}。 請求出此組二位元碼C 的最小距離（minimum distance）。（5 分） 請求出此組二位元碼C 的最大權重（maximum weight）使得所有的錯 誤模式（error pattern）都保證能被偵測出來。（5 分） 請求出此組二位元碼C 的最大權重使得所有的錯誤模式都保證能被 更正出來。（5 分） 請詳述理由來判斷此組二位元碼C 是否為線性（linear）碼。（5 分）

讓具有自相關函數（autocorrelation function）߮௫௫[݉] = ߜ[݉]的白色雜訊 （white noise）且廣義平穩（wide-sense stationary）訊號，通過一個線性非 移變（linear shift-invariant）系統，此系統的脈衝響應（impulse response） 如下所示： h[n]＝2ߜ[݊] − ଵ ଷߜ[݊−1] − ଵ ଷߜ[݊−2]。 請決定輸出序列（output sequence）的功率頻譜（power spectrum）， Φ௬௬(݁௝ఠ)。（5 分） 請決定輸出序列的自相關函數，߮௬௬[݉]。（5 分） 請決定交互功率頻譜（cross power spectrum），Φ௫௬(݁௝ఠ)。（5 分） 請決定交互相關函數（cross correlation function），Φ௫௬(݁௝ఠ)。（5 分）

一個二位元（binary）通訊系統傳送具有事前機率（prior probability） Pr(0) = 0.6 與Pr(1) = 0.4 的符元（symbol）{0,1}，此通道受到加性高斯 白雜訊（additive white Gaussian noise）的干擾。當二位元符元‟0”被傳送 時，加性高斯白雜訊的期望值為0，變異數為9，N(0,9)。當二位元符元 ‟1”被傳送時，加性高斯白雜訊的期望值為0，變異數為4，N(0,4)。 請寫出這兩個符元的概似函數（likelihood function）。（4 分） 請求出這兩個符元的決策區域（decision region）H0 與H1。（6 分） 請求出此通訊系統的平均最小錯誤機率（average minimum error probability）。請以Q-函數：ܳ(ݔ) = ∫ ଵ √ଶగ݁ି௧మ/ଶ݀ݐ ஶ ௫ 表示出來。（10 分）

一個具有平均傳送能量（energy）為E 之二位元相位偏移調變（binary phase shift keying, BPSK）的傳送器（transmitter），它的脈波整形（pulse shaping）是具有能量Eg 的g(t)，而載波頻率（carrier frequency）為fc。 正常情況下載波的相位偏移是0°或是θ＝180°，來代表傳送的是一個‟0” 或是‟1”的位元（bit）。然而現在這個BPSK 傳送器發生問題，導致傳送 ‟1”位元時偏移的相位θ≠180°。假設系統是使用最大概似接收器 （maximum-likelihood receiver），且通過一個具有功率頻譜（power spectrum）是N0/2 之加成性高斯白雜訊（additive white Gaussian noise） 的通道。 請寫出這組二位元相位偏移調變的傳送訊號，s0(t)與s1(t)。（4 分） 請為這組二位元相位偏移調變的傳送訊號找出一組合理的正交歸一 基底（orthonormal basis），{f1(t), f2(t)}。（4 分） 請用上一小題的合理正交歸一基底，來表示出這組二位元相位偏移調 變傳送訊號的向量模式，{s0, s1}。（4 分） 請用γ、θ、及Q-函數來表示此通訊系統的錯誤機率Pe。這裡的 γ＝Eb/N0 是每位元的訊雜比（signal-to-noise ratio, SNR），且對M 符元 訊號源（M-ary signaling）而言，Eb＝E/log2M。ܳ(ݔ) = ∫ ଵ √ଶగ݁ି௧మ/ଶ݀ݐ ஶ ௫ 。 （8 分）