水利工程 98 年高等流體力學考古題

一不可壓縮（incompressible），二維（two-dimensional）的恆定流場（steady flow）， 其x 方向之速度分量（velocity component）u 為： （25 分） u(x,y)＝2x。 推導出所有可能的y 方向速度分量v。 若此流場不可旋（irrotational），且已知u(0,0)＝v(0,0)＝0，則唯一之y 方向速度 分量v 為何？ 推導出之特定流場的加速度（acceleration）ar。 推導出之特定流場通過(x0,y0)＝(1,1)之流線（streamline）。 解釋之特定流場其流線（streamline）與煙線（streakline）相同的理由。

以下附圖之矩形銳緣堰（rectangular sharp crest weir）其水面至堰頂距離為H，堰高為h ，單位寬度之流量為q（因次為L2/T），水流密度為ρ，重力加速度為g。（25 分） q h H 實驗的控制參數（constraint parameter）為何？ 提示：雷諾數（Reynolds number）、福祿數（Froude number）、尤拉數（Euler number）、韋伯數（Weber number）等等⋯。 變數H、h、q、ρ、g 中，是否有不需考慮者？若有，為何？ 利用白金漢Π 定理（Buckingham pi theorem ）作因次分析（dimensional analysis），找出無因次參數Πi, i=1,2,3,⋯。 依雷利定理（Rayleigh theorem），吾人可建立型式如q＝cHa1ha2ρa3ga4之關係式。 請利用下表數據作出q之如上型式之實驗式。 註： g＝9.8 m/s2，ρ＝1000 kg/m3，且實驗式不必要求因次齊次性（dimensional homogeneity）。 q（m2/s） H（m） h（m） 1 0.486 5 2 0.771 5 4 1.225 5 1 0.486 10 2 0.771 10 4 1.225 10 98 年公務人員高等考試一級暨二級考試試題 類 科： 水利工程 全一張 （背面）

不可壓縮（incompressible）、非黏滯性（inviscid）之三維（three-dimensional）流 場可存有速度向量ur 與速度勢（velocity potential）的關係式如 φ φ ∇ = ur 。若已知一位 於坐標原點(xs,ys,zs)＝(0,0,0)之涵（sink）其速度勢為： （25 分） r

m s π = φ ， 2 2 2 z y x r + + = ，m＝constant， 則分別： 寫出圖（i）之速度勢， 寫出圖（ii）之速度勢， 寫出圖（iii）之近似（approximated）速度勢，並算出圖中流量Q 與涵之強度m 之 關係式。 最後，請說明是否存在流函數（stream function）並解釋其理由。 (0,0,0) sink z y x Free surface S2 S1 z (0,0,0) sink y x Rigid wall 圖（ii） 圖（i） Free surface Q (0,0,0) S1 S2 Rigid wall Rigid wall 圖（iii） 四、如下圖之雙層（double-layered）、二維（two-dimensional）、黏滯性（viscous）、 恆定平行流（steady parallel flow）將被用來模擬水庫內異重流（density current）之 運動。上層自由水面（free water surface）平靜無風，深度範圍是0 b y ≤ ≤ ，下層底 床是剛性（rigid）岩盤，深度範圍則是 0 y b ≤ ≤ − 。上、下層流體之黏滯係數 （viscosity coefficient）及密度分別是 1 µ 、 1 ρ ，及 2 µ 、ρ 。 （25 分） 2 請寫出各層最精簡的控制方程式（governing equations）及邊界條件（boundary conditions）， 最終再解出各層的速度剖面（velocity profiles）。 y x 2 µ , 2 ρ ,ρ 1 1 µ ↓g b b θ