水利工程 114 年高等流體力學考古題

二維非黏性、不可壓縮水流的流場速度勢（velocity potential）為

2 ( , ) 2 ( ) 3 x y x y y    其中的單位為 2 m /s ，x 和y 的單位為m。 請證明此速度勢函數滿足連續方程式（continuity equation），且為非旋 性流場（irrotational flow）。（10 分） 若( ) ( ) , 1,1 x y  處的壓力為200 kPa，試求在( ) ( ) , 2, 2 x y  處的壓力。 （10 分） 二、如下圖，溢洪道常以適當的發生水躍（hydraulic jump）現象來防止趾部 沖刷，若水躍的上游水深 1 0.2 m y  、速度 1 5.5 m/s V  ，溢洪道寬度 30 m b  。 試求水躍的下游水深 2y 、速度 2 V 及因發生水躍的能量損失功率。（10 分） 說明水躍的上、下游水流屬何種特性之流況；請以一例說明如何適當 的發生水躍現象來防止趾部沖刷。（10 分） 溢洪道寬度b = 30 m 下游障礙物 1 0.2 m y  三、如下圖，風（密度 3 1.23 kg/m  ，黏滯度 5 2 1.75 10 N s/m      ）以每小 時96 km的速度作用於水塔結構物，水塔為球型，置於圓柱的上方，球型 水塔的直徑 12 m s D  ，圓柱高度 15 m b  、直徑 4.5 m c D  。球體及圓柱 的阻力係數（drag coefficient）與Reynolds 數的關係如附圖，試求圓柱底 部固定端所需的抵抗力矩（torque），以維持水塔結構物免於傾倒。（20 分） 阻力係數與Reynolds 數的關係圖： U = 96 km/hr Ds = 12m Dc = 4.5m b = 15m

兩平行固定板間的定量黏性流（steady viscous flow）如下圖所示，試以 連續方程式及Navier-Stokes 方程式推導速度剖面（velocity profile），並 證明平均速度V 與最大速度 max u 的關係為 max 2 3 V u  。（20 分）

如下圖，流體流經橢圓形斷面結構物後發生週期性渦漩分離（vortex shedding）現象，該渦漩分離頻率（shedding frequency）與斷面尺度D、 H 及流速V、流體密度、黏滯度（viscosity）相關。 請利用「Buckingham定理」推導渦漩分離頻率與相關參數之無因 次關係式。（10 分） 若原型尺度之 0.2 m D  、 0.6 m H  及流速 5 m/s V  ，模型實驗採和 原型相同之流體，模型尺度之 5 cm D  ，則模型的流速應為多少？ 如果在模型測得的渦漩分離頻率為48 Hz，則原型的渦漩分離頻率為 多少Hz？（10 分）