機械工程 113 年流體力學與工程力學考古題

密度為 、比重為 3 9.81 kN/m  之流體以平均速度 0 U 流入一截面為圓 形的Y型短管，其幾何配置與尺寸標註於下方的側視圖（圖一），經過分 叉口後以相同的平均流速 1 U 與

今有一金屬球因重力作用在一黏性流體中以等速沉降。假設該球之沉降 速度V 較低，使得其運動方程式中之慣性力遠小於黏性力，故V 只受流 體之動力黏滯係數（dynamic viscosity），以及金屬球之直徑D 和單位 體積淨受力（b l）g 影響。前式中b 與l 分別為金屬球和流體之質量 密度，g 為重力加速度。 利用因次分析（dimensional analysis），試求沉降速度V 與前述各參數 [亦即D(b l)g]之關係式。（15 分） 設若一鐵球之比重（specific gravity）為7.9，直徑為0.3 cm，且在某 一比重為1.5 之流體中以某速度等速沉降。今若將鐵球換成比重2.7 之 鋁球，且欲使鋁球在相同流體中之沉降速度與原鐵球相同，試求鋁球 應有之直徑。（5 分）

U 離開上下兩分叉管；入口與兩出口截面 上的壓力各為 0p 、 1p 與 2p 。若過程中無外界作功、也無熱交換，在假設 摩擦損失與重力位能可忽略的狀況下，可利用伯努力（Bernoulli）定理 推論出 1 2 p p  。 試求 0 U 。（3 分） 若進一步化簡設 1 2 0 p p   ，計算需花多少力維持Y 型管的水平與垂 直位置？（計算時請四捨五入到小數第三位）（17 分） 二、今考慮另一個長型Y流道內之穩定流動，其幾何配置與尺寸之側視圖如 圖二所示，三段圓型管道雖內徑不同，但內壁之平均表面粗糙度均為

如圖1 所示，今有一圓形截面管，其長度L = 1.2 m，直徑d = 0.003 m， 內壁粗糙度（equivalent roughness）= 0.045 mm，同時水從一自由液面高 度H 恆定且直徑D = 0.172 m 之容器經此圓管排出。假設圓管入口區之次 要損失（minor loss）可以忽略，且管內截面平均流速V = 2 m/s，試求容 器內自由液面相對於圓管中心線之高度H。提示：水之運動黏滯係數 = 1.12 × 106 m2/s，同時管流摩擦因子（friction factor）f 可利用下式計算： 1.11 1 / 6.9 1.8log 3.7 Re d f                  ， 式中Re 為雷諾數（Reynolds number）。（15 分） 圖1

10 m    。密度為 、比重為 3 9.81kN/m  、黏滯係數為 3 10 Pa s     之流體以平均速度 0 1m/s U  由左方水平管流入，流體經過Y型分叉後由 上下兩等長分管排出至大氣壓力，兩出口截面上的壓力各為 1p 與 2p ，而 平均流速則各為 1 U 與 2 U ，兩者不一定相同。 （圖一） cm cm/s cm/s cm cm 流道上側裝設的三根靜壓管顯示內部液體高度由上游到下游遞減 ( ) A B C H H H   ，代表此穩態管內流存有壓力損失 loss P  ，而此物理量在 長直管中隨流況的變化，可由下方圖三Moody Diagram 統一描述。請回 答下述各問題。 試問第一段水平管內為層流或紊流？（3 分） 列出所有造成 C B H H  的原因。（3 分） 從Moody diamgram 可知Friction factor f 的定義，其中U 為特徵平均 流速。針對水平段兩靜壓管間的流體，以控制體積的分析概念來闡述 f 的物理意義。（9 分） （圖三） （圖二） cm cm cm 三、如圖四所示，如果A 處的靜摩擦係數為 0.4 s  ，B 處的套環是光滑的， 因此它只對管子施加水平力，試決定最小距離x ，使支架能夠支撐任何 質量的圓柱體而不打滑。忽略支架的重量。（20 分）

如圖2 所示，一根四分之一圓之懸臂梁外側面承受均勻壓力負載p，壓 力p 以單位弧長所受的力表示。試計算該懸臂梁固定支撐點（fixed support）A 承受的正向力 A N 、剪力 A V 及彎曲力矩 A M 。（15 分） 圖2

如圖五所示，使用三個相同的圓柱體作為滾輪將一重型板條箱移動一小 段距離。已知在所示的瞬間，板條箱的速度為200 mm/s ，加速度為 2 400 mm/s ，均指向右側，試求：（每小題10 分，共20 分） 中心圓柱體的角加速度。 中心圓柱體上A 點的角加速度。 （圖四） （圖五）

如圖3 所示，一丁字形角鐵由兩根相同質量m 及長度L 的均質圓棒銲接 而成，其平面與鉛垂面平行，端點A 銷支承（pin support）於天花板，端 點A 與質心G 連線的水平傾角為θ。丁字形角鐵於 o0  處靜止釋放， 重力加速度以符號g 表示。試問： 丁字形角鐵質心距AG 及對A 點的轉動慣量（moment of inertia of mass）。（10 分） 當 o 90  時，銷支承A 施予丁字形角鐵的水平力及鉛垂力各是多少？ （15 分） 圖3

如圖六所示，A 點的應變為

如圖4(a)所示，兩個尺寸、材質相同的均勻圓柱體堆疊於無摩擦地板。 兩者的截面積為A、彈性係數為E 及單位體積的重量為 g    ，此處， 為質量密度，g為重力加速度。若兩圓柱體未受應力作用前的原始長度 為L，參考圖4(b)所示，試問： 兩圓柱體在 1x 及 2x 截面的軸向壓力 1 1 ( ) F x 與 2 2 ( ) F x ？（10 分） 兩圓柱體受重力壓縮後的長度分別減少 1 與 2 ？（15 分） （提示：單軸應力、變形關係 x x du d x E    ， x 、 x與u 為單軸應力、應 變及位移。）

140(10 ) x   ε ， 6 180(10 ) y   ε ，以及 6 125(10 ) xy    。請利用繪製莫耳圓（Mohr’s circle）的方法，試求A點： 在- x y平面中的主應變。（10 分） 在- x y平面中的最大剪切應變。（10 分） 絕對最大剪切應變。（5 分） 註：採非指定方法求解者，不予計分。 （圖六）