交通技術 103 年統計學考古題

設X 與N 為兩個離散隨機變數，N~P(λ)，X|N=n~Bin(n,p)。  試求X 之邊際分配，需說明分配名稱及參數。（10 分）  計算X 之動差母函數，Mx(t) 。（5 分） 並由此計算： E(X) 。（5 分） E(X 2)。（5 分）

令隨機變數X的機率密度函數為

設Xi~N(μi,σi 2), i=1,2,…,n，為一組獨立之常態分配。  試說明：  2 1 n i i i i X            之精確分配。（10 分）  計算期望值E( 2 1 n i i i i X            )。（5 分）  變異數Var( 2 1 n i i i i X            )。 （5 分）  當n→∞，試寫出 2 1 n i i i i X            之極限分配。（5 分）

) ( bx a x f   ， 1 0  x ，且X之期望值為 4

若 1 n i X ~U(θ,1)為一組來自均勻分配在區間(θ,1)之獨立同態的隨機樣本。  試寫出θ 之參數空間。（5 分）  試求θ 之動差估計式，θMM。（5 分）  試求一常數c 使c θMM為θ 之一不偏估計式。（5 分）  試求θ 之最大概似估計式，θMLE。（10 分）

) (  x E ， 同時令 X log 2 - Y  ，試求：（每小題10 分，共20 分）  a 、b 之值 。 Y 的機率密度函數為何 ？ 二、某聯歡晚會活動舉辦喝飲料拼字兌獎活動，若集滿「F、U、N、G、O、趣」6 個 飲料瓶蓋，即可兌換平板電腦一台，假定每瓶飲料皆有此6 個字中的一個，且機率 相同。請問平均要喝多少瓶才有兌獎機會？（20 分） 三、為分析員工的工作效率，下表為A、B、C 三位員工在不同工作時間下之工作效 率的ANOVA 表，其平均工作量依序為 。 變異來源 平方和 自由度 時間 18 3 員工 104 2 誤差 12 6  試寫出變異數分析所需的假設。（8 分）  在顯著水準為5％下，檢定時間之不同是否顯著地影響工作量？（9 分）  在顯著水準為5％下，求算各個小母體共同變異數 之信賴區間。（8 分）

設  1 ( , ) n i i i x Y 滿足一無截距之簡單線性迴歸模型Yi= 1 i i x    ，設E(εi)=0，Var(εi)=σ2， cov(εi , εj)=0，i j。  試求β1 之最小平方估計式（LSE）。（10 分）  吾人若欲對此模型作推論，則於εi 需加上何種分配的假設？（5 分）  在題 之假設下，給定α(0,1)之顯著水準，如何檢定此迴歸線是否顯著？（10 分）

小江每週路跑2 次，平均每次跑步的時間是40 分鐘，標準差為5 分鐘，且每週平 均為1 小時20 分，標準差為4 分鐘，假設在星期一他只跑15 分鐘下，求他在星期 五會跑步的預期時間為何？（15 分）

臺灣地區滿16 歲以上的人口約1300 萬人，為估計這些人中抽菸的比例p，今以隨 機抽樣法抽出樣本數為n 的一組樣本，設X 表示樣本抽菸的人數，以樣本比例 估計p 值，則：（每小題10 分，共20 分） 假設 n=100 人，x=50 人，在95％的信心水準之下，試估計誤差界限（margin of error）之值為何？  在 中，若希望誤差界限不超出0.02，則n=100 是否太多或太少，需要增加或減 少多少？ 22980、28280 Areas under the Normal Curve 22980、28280 Critical Values of the F Distribution at a 5 Percent Level of Significance .05 F 0 22980、28280 卡方分配臨界值表