交通技術 108 年統計學考古題

以下是關於條件機率以及指數分配（exponential distribution）的問題。 （每小題10 分，共20 分） ㈠一政府官員在5 個治安情形不同的國家洽公，假定此政府官員的行 程如下：A 國→B 國→C 國→D 國→E 國。如果各國錢包被偷的機 率是A 國為0.02，B 國為0.03，C 國為0.07，D 國為0.01。已知此 官員抵達E 國時，錢包已被偷（非在E 國被偷），請問此官員其錢 包在C 國被偷的機率為何？ ㈡一辦公室在A 地之政府官員要到B 地開會，此官員必須先從辦公 室走路9 分鐘至一公車站，然後坐上公車直達B 地開會地點。已知 在此公車站其任一公車之間隔到達時間服從一平均值20（分鐘）的 指數分配（exponential distribution），其中公車之間隔到達時間是 指從這班車離開之時間算起到下一班車到達所需等待之時間。若此 官員要不晚於上午10 點40 分坐上公車，開會才不會遲到。請問此 官員最晚應在什麼時間從辦公室出發，才會有至少0.9 的機率不會 遲到（答案請計算至分鐘單位；log(a)為數字a 的自然對數值， log(2)=0.69，log(3)=1.1，log(10)=2.3，log(13)=2.56）。

以下是關於最大概似估計量（maximum likelihood estimator）以及假 設檢定的問題。（每小題10 分，共20 分） ㈠考慮以下離散型機率分配函數（discrete probability distribution function） = + + = 其他 , 0 ,3 ,2 ,1 , ) 1 )(

( ) ( 2 2 2 … x c x f x θ θ 其中θ 是參數而c 是欲求的數。一組服從上述機率分配的母體所得 到的一組隨機樣本如下： 1 3 1 2

1 請計算c 的可能值以及根據此組樣本所得之參數θ 的最大概似估計 量的值。 ㈡某電競遊戲設計為共4 道關卡的闖關遊戲，假定X 為通過關卡數的 隨機變數且其分配是一個成功機率為p 的二項式分配（binomial distribution），其中X 的可能值為0, 1, 2, 3, 4。針對以下假設 2 1 0 = p H： 對 4 1 1 = p H： ，給定以下4 種檢定法： 檢定法A：如果X=4，則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ，即拒絕域 （rejection region）為集合{ } 4 ； 檢定法B：如果X=0，則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ，即拒絕域為 集合{ } 0 ； 檢定法C：如果 1 ≤ X ，則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ，即拒絕域為 集合{ } 1 ,0 ； 檢定法D：如果X=0 或X=4，則拒絕 0 H ，反之則不拒絕 0 H ，即拒 絕域為集合{ } 4 ,0 。 設定顯著水準為 16 1 = α ，請決定上述4 種檢定法，那一個或那些檢 定法是符合α 之設定且有最大檢定力（power）的檢定法？ 三、以下是關於朴松分配（Poisson distribution）以及二項式分配（binomial distribution）的參數估計問題。 ㈠若某一速食店一日來客人數服從於平均值為λ （人）的朴松分配 （Poisson distribution），以下是隨機收集該速食店5 日的每日來客人數 資料：433 人，375 人，450 人，375 人，367 人。根據上述資料，請算 出λ 的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）的值。（5 分） ㈡若隨機變數 10 2 1 , , , X X X … 是彼此獨立且其分配為做一次試驗 且成功機率為0.2 的二項式分配（binomial distribution）。 請算出 9 ) ( 2 10 1 2 ∑= − = i i X X S 的期望值E(S2) 以及∑ = 10 1 2 i i X 的變異數 ) Var( 10 1 2 ∑= i i X ，其中 10 10 1 ∑= = i i X X 。（10 分） 四、以下是關於卡方檢定（chi-squared test）以及單因子變異數分析法 （one-way ANOVA）的問題。（每小題10 分，共20 分） ㈠在一次有3 位總統候選人的總統大選，某電視名嘴宣稱候選人甲的 支持率為p1=0.425，候選人乙的支持率為p2=0.235，候選人丙的支 持率為p3=0.115，而不表態或都不支持這3 位候選人的比率為 p4=0.225。某一民調單位得到以下樣本數為1000 的問卷結果：支持 候選人甲的人數為450 人，支持候選人乙的人數為225 人，支持候 選人丙的人數為125 人，不表態或者都不支持這3 位候選人的人數 為200 人。根據這份問卷，在顯著水準α=0.05 下，請利用卡方檢定 （chi-squared test）來驗證此名嘴的說法是否與該民調單位調查結果 一致，即檢定 H0：p1=0.425，p2=0.235，p3=0.115，p4=0.225 對 H1：p1，p2，p3以及p4並非 p1=0.425，p2=0.235，p3=0.115，p4=0.225。 ㈡一機械零件生產公司欲比較其3 條生產線所生產之零件的平均規 格（分別為 1 µ ， 2 µ 以及 3 µ ）是否一致。此公司在每一條生產線各 取得5 件隨機樣本，這3 組樣本其規格之平均值分別為3.6，3.4 以及4.1。另外，這總共15 件零件其規格之變異數為0.14。在顯著 水準α=0.05 下，請利用單因子變異數分析法（one-way ANOVA） 來檢定這三條生產線所生產零件的平均規格是否一致，即檢定 H0：μ1=μ2=μ3 對H1：μ1，μ2以及μ3並不完全相等。

以下是關於無母數統計以及母體平均與比率的問題。 ㈠對以下來自可能非常態分配母體且樣本數少的隨機樣本 14 18 23 25 32 48 11 當使用威爾考森符號等級檢定法（Wilcoxon signed rank test）來檢 定母體中位數M 是否為20，即檢定H0：M=20對H1：M≠20，請算 出分別對應正負符號的兩檢定統計量。（5 分） ㈡某收視率調查公司對某電視節目收視率p 進行調查，該公司做出兩 份利用隨機抽樣所得之收視率報告，其中一份樣本數為400，而另 一份樣本數為1600，且兩份報告所得之估計收視率相同且都不超過 30%，其中估計收視率即樣本中收看此節目觀眾數占樣本數之比 率，也就是樣本比率（sample proportion）。而兩份報告關於收視率 p 的兩個95%信賴區間，其中較長的信賴區間比另一信賴區間長度 長0.0294。試求這兩份報告所得之估計收視率以及收視率p 的兩個 95%信賴區間。（10 分） ㈢市售某品牌防彈咖啡號稱喝一個月後有減重效果。若 2 µ 是喝此防彈 咖啡一個月後消費者之平均體重，而 1 µ 是這些消費者喝之前之平均 體重，從這些防彈咖啡的消費者，隨機得到以下6 組成對樣本（paired samples or matched samples）資料 (x1, y1) =(63, 61) (x2, y2) =(69, 67) (x3, y3) =(59, 60) (x4, y4) =(57, 58) (x5, y5) =(76, 70) (x6, y6) =(63, 59) 其中xi 為第i 個消費者喝此防彈咖啡前所測之體重，而yi 為這個消 費者喝了此防彈咖啡一個月後所測之體重，i=1,…,6。在顯著水準 α=0.05下，請利用成對樣本t檢定法（paired samples t test or matched samples t test）決定是否有足夠證據顯示此防彈咖啡有該公司宣稱的 減重效果，即檢定H0：μ1≤μ2對H1：μ1> μ2。（10 分）