交通技術 110 年統計學考古題

設X 為一隨機變數，其機率分配如下，令

Janice 是一位成功的大學教科書業務代表。依照過去的經驗，經由每通 電話的拜訪與說明，Janice 取得訂單的機率是25%。現在抽出她某個月 的業務電話通數當做樣本，並假設該資料所產生的比例的標準誤為 0.0625。 依據以上訊息，在那個月中Janice 共打了多少通業務電話？（3 分） 令p為推銷成功率的估計式，藉由p的抽樣分配，計算Janice 在那個 月內有30%（含）以上成功率的機率為何？（7 分）

(2 1) Y X   ，試求： X -2 -1 0 1 2 f(x) p 4p 2p p 2p 期望值 2 ( ) E Y 。（5 分） 共變異數Cov (X, Y)。（5 分） 二、調查民眾曾經使用過A、B、C 三家快遞業者之比例如下： 曾使用過快遞A 50% 曾使用過快遞A 及B 15% 三家皆曾使用過1% 曾使用過快遞B 30% 曾使用過快遞A 及C 5% 曾使用過快遞C 10% 曾使用過快遞B 及C 3% 今隨機抽取一位民眾，試求： 僅使用過快遞A 之機率。（5 分） 給定其至少曾經使用過一家快遞的條件下，試問其使用過快遞C 之 機率。（5 分） 給定其曾經使用過快遞B 的條件下，試問其三家快遞皆曾使用過 之機率。（5 分）

2010 年1 月汽車產業在A 國共售出657,000 輛車。自2009 年1 月的經 濟衰退以來，銷售額已減少37%。美國三大車廠－通用汽車（General Motors）、福特（Ford）及克萊斯勒（Chrysler）共售出280,500 輛車， 較2009 年1 月減少48%。 汽車製造商及銷售車輛類型的資料如下表，資料以千輛為單位。非美國 製造商由豐田（Toyota）、本田（Honda）及日產（Nissan）領軍共售出 376,500 輛車。下表的輕型卡車包括小貨卡、多功能休旅車、運動型休旅 車及跨界休旅車。 車型 製造商 小客車 輕型卡車 美國車廠 87.4 193.1 非美國車廠 228.5 148.0 如果某輛車是美國車廠製造，這輛車是輕型卡車的機率是多少？（5 分） 某輛車是由美國車廠製造或是小客車的機率是多少？（5 分） 33480 37080

某物流公司使用三條附有不同影像辨識系統之輸送帶A1、A2、A3 進 行貨物之辨識與分流。已知A1 之處理量為A3 之1.5 倍，A2 之處理 量為A3 之1.2 倍，三種辨識系統之錯誤辨識率分別為5%、4%、6%。 若已知有一件貨品辨識錯誤，試求該錯誤為A3 所處理之機率。（8 分） 該公司為應付業務量之增加，另增加三條輸送帶B1、B2、B3，三 條輸送帶均使用與A2 相同之影像辨識系統，並分擔該公司40%之 業務量，剩餘60%之業務量則由原來之輸送帶負責。今隨機抽取一 件貨品，試求發生辨識錯誤之機率。（8 分） 若已知有一件貨品辨識錯誤，試求該辨識錯誤為新的三條輸送帶所 處理之機率。（9 分）

食用燕麥糠是否為一種有效降低膽固醇的方法？早期的研究指出，每日 食用燕麥糠可降低5% 到10% 的膽固醇標準。這項研究報告導致許多 新式早餐的穀類食品皆推行含有不同百分比的燕麥糠。然而，在德州休 士頓某研究單位的醫學研究員懷疑燕麥糠的效果，並進行一項實驗。在 那項實驗中，120 位自願者食用燕麥糠為早餐（稱為實驗組），而其他120 位自願者食用另一種穀類食品為早餐（稱為對照組）。在6 週之後，計算 並蒐集兩個群組自願者膽固醇降低的百分比。 實驗組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（10.01, 4.43, 120）。 對照組的資料訊息：（平均數，標準差，人數）=（9.12, 4.45, 120）。 平均數與標準差的單位皆是百分比。 對降低膽固醇而言，在5% 的顯著水準下，我們是否能夠藉由假設檢定 推論燕麥糠不同於其他早餐穀類食品？寫下假設檢定的過程，包括虛無 與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。採用相同變異數的檢定 統計量。（15 分）

蒐集某都市每天之交通事故次數，發現去年平均每天發生100 件交 通事故，標準差12 件。 若隨機抽取4 天之交通事故次數，試求此4 天之平均交通事故次 數高於112 件之機率。（8 分） 假設今年每天之交通事故次數服從常態分配，且標準差與去年相 同。為檢定今年之平均交通事故次數是否比去年高，甲生主張於今 年隨機抽取36 天，若其平均次數高於102 件時，就認為今年事故 次數比去年高。試寫出虛無假設與對立假設，並計算甲生檢定方法 對應之型I 誤差。（8 分） 承。若由36 天資料得出樣本和為 ix  =3,672，樣本平方和為 2 ix  =379,044，試求其今年交通事故平均數之99%信賴區間。 （9 分）

學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領 域的滿分為800 分。想了解學生在SAT 的三個領域表現是否有不同， 本題考慮完整的隨機區塊設計（complete randomized block design），進行 學生在SAT 的三個領域之資料蒐集。以下是六名學生的SAT 分數樣本： 學生 關鍵性閱讀 數學 寫作 1 526 534 530 2 594 590 586 3 465 464 445 4 561 566 553

欲比較四種不同品牌之產品其使用年限，分別抽取若干件數，其使用 年限資料如下： 品牌1 5 7 4 4 5 4

436 478 430

品牌2 4 3 2 5 6 4 品牌3 5 8

430 458 420 請說明為何考慮隨機區塊設計？何者為區塊以及何者為感興趣的因 子。（5 分） 給定SSTR=1348, SSBL=63250 and SST=65798，建構對應的ANOVA 表 （SSTR：Sum of squares for Treatment；SSBL：Sum of squares for Block； SST：Total sumof squares）。在5%的顯著水準下，是否有足夠證據說明 學生在SAT 的三個領域表現不同？寫下假設檢定的過程，包括虛無與 對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。（15 分） 33480 37080 五、《華爾街日報》企業觀念研究2011 年讀者之調查，詢問其對全球250 家 公司管理品質與公司聲譽之關係的評比。此調查以甚佳、良好、尚可等 三種類別尺度來衡量公司的管理品質與公司聲譽。本研究200 位受訪者 之樣本資料如下： 公司聲譽 管理品質 甚佳 良好 尚可 甚佳 40 25 5 良好 35 35 10 尚可 25 10 15 在5%顯著水準下，檢定公司的管理品質與公司聲譽是否獨立。寫下假 設檢定的過程，包括虛無與對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結 果。（15 分） 請根據樣本資料並用條件機率來說明的檢定結果。（5 分） 六、最近，可用性專業人士協會（UPA）針對會員進行薪水調查，採用一階 多元回歸模型（first-order multiple regression model），以經驗年數（x1）、 博士學位（x2 = 1 如果是博士，0 如果不是博士）和經理狀態（x3 = 1 如 果是經理，x3 =0 如果不是經理）來預測薪水（y，以美元為單位）。得到 如下預測方程式： ˆ 52484 2941( 1) 16880( 2) 11108( 3) y x x x     預測擁有10 年經驗且沒有博士學位卻是經理的UPA 成員的薪水及 擁有10 年經驗且有博士學位卻不是經理的UPA 成員的薪水。比較 這兩份薪水，說明差別的可能原因。（6 分） 說明調整後的多重決定係數，Rୟୢ୨ ଶ=0.32 的實際解釋。（2 分） 已知x1 係數的95%信賴區間為（2700, 3200），說明此結果的實際解 釋。（2 分）

5 6 7 7 5 4 品牌4 6 5 4 6 4 7 5 4 3 6 試列出變異數分析表。（8 分） 在5%之顯著水準下，試檢定四種品牌產品之平均使用年限是否有 顯著差異。（8 分） 試求品牌3 與品牌2 產品使用年限差( 3 2    )之95%信賴區間。 （9 分） 附表 Z分配表 t分配表 自由度 單尾顯著水準 1.2824

令λ 為固定正常數，且定義如下函數 f(x) = ଵ ଶλ݁ିఒ௫，對x≧0；f(x) = ଵ ଶλ݁ఒ௫，對x < 0。 若隨機變數X 的pdf 為f(x)，令t 為任意實數，試求P(X<t)。（10 分） 試求P(|X|<t)。（5 分）