交通技術 106 年統計學考古題

已知兩個獨立且相同分配的隨機變數分別為X 和Y，而且X + Y 的動差母函數 （moment generating function）為 )1 ( 4 ) ( − + = te Y X e t m 。 請回答下列問題： 求隨機變數X 的動差母函數及機率分配函數。（12 分） 計算機率 )

設X 及Y 為兩個連續隨機變數，其聯合機率密度函數為當 且 ，則 ；否則

P(X ≥ 。（5 分） 利用題的動差母函數，求母體變異數（variance）。（8 分） 二、設 1 X 和 2 X 是兩個獨立且有相同分配的隨機變數，其機率密度函數如下所示： θ θ x e x f − = 1 ) ( ， ∞ < < x 0 ， ∞ < <θ 0 。 請回答下列問題：（每小題6 分，共24 分） 證明 2 1 X X + 是θ 的充分統計量（sufficient statistic）。 求 2 1 1 X X Y + = 和 2 2 X Y = 的聯合機率密度函數。 1Y 和 2 Y 如題所定義，計算已知1Y 下， 2 Y 的期望值，即 ) | ( 1 2 Y Y E 。 1Y 和 2 Y 如題所定義，求 ) | ( 1 2 Y Y E 的變異數，即 )) | ( ( Var 1 2 Y Y E 。

0 ≤ ≤x 2 0 ≤ ≤y x f 。試問： c 值為何？（10 分） 找出X 與Y 的聯合累積機率密度函數（ 及 ），a 及b 介於0 及2 之間。（10 分） a x ≤ ≤ 0 b y ≤ ≤ 0 X 與Y 是否獨立？（5 分） 二、你需要付出10 元才能加入投擲一個六面均勻骰子的遊戲。如果骰子出現2、4、5 及 6 朝上，你會損失所付出的那10 元；如果骰子出現3，可拿回所付出的那10 元；如 果骰子出現1，則除了拿回所付出的那10 元外，還可多得到20 元。試問： 此遊戲玩1 次的收益之期望值及標準差為何？（5 分） 此遊戲玩100 次的平均收益之期望值及標準差為何？（5 分） 如果你玩此遊戲100 次，平均收益少於多少以下的機率為95%？（10 分）

研究洋蔥在不同溫度下軟化的程度，隨機抽取6 袋洋蔥，每袋有5 顆洋蔥。3 袋洋蔥 存放於華氏60 度的儲存室，另外3 袋洋蔥存放於華氏80 度的儲存室。應變數 （dependent variable）Y 為軟化的程度。利用統計軟體（SAS）PROC MEANS 得到 下列結果： 溫度 袋 總和 平均數 修正的平方和（corrected sum squares） 60 1 50 10 52.58 60 2 55 11 42.82 60 3 75 15 19.30 80

某光電公司人資部門有三種針對組裝作業員的教育訓練方法，目的在不降低組裝品 質的情況下減少作業員組裝產品所需時間。現在隨機獨立選取25 位組裝作業員，將 其分成三組分別以此三種教育訓練方法進行訓練，訓練結束後對組裝時間進行測 試，所得結果如下表（單位：秒）： 方法一 方法二 方法三 148 82 15 75 144 106 170 32 13 59 19 60 95 114 200 276 55 41 71 62 51 85 5 347 46 試問在信賴水準95%的情況下，根據以上所提供資訊，選擇適當的統計方法分析以 此三種教育訓練方法訓練後，其組裝作業員每人組裝時間的分配是否相同？（15分） 說明為何使用小題之統計方法進行分析？（10 分） （請接第二頁） 106年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 22380 22580 22780 26980 全四頁 第二頁 類 科：經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目：統計學

70 14 22.78 80

業務經理想瞭解其部門內業務代表每個月拜訪客戶的交通里程數（X，單位：仟公里） 與每月總銷售額（Y，單位：仟元）間的關係。此業務經理蒐集9 個月的資料，初步 樣本資料的分析產生以下的資訊： 9 n = ，∑ ， ， = 60 X ∑ = 553 Y ∑ = 582 2 X ，∑ = 39653 2 Y ，∑ = 4329 XY ， ∑ = − 182 ) ( 2 X X ，∑ = − 2222 . 5674 ) ( 2 Y Y ， 。 ∑ = − 233 . 3407 )ˆ ( 2 Y Y 使用以上資料回答下列問題，請詳細將所使用之公式及計算過程列出：（每小題10 分， 共30 分） 求最小平方直線，並在散布圖中繪出此直線。 以顯著水準為0.05，檢定迴歸斜率是否顯著異於0。 迴歸判定係數為何？ （請接第三頁） 106年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 22380 22580 22780 26980 全四頁 第三頁 類 科：經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目：統計學 （請接背面） 附表 ) ( 2 2 df χ χ α 分配右尾百分點 （請接第四頁） 106年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 22380 22580 22780 26980 全四頁 第四頁 類 科：經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目：統計學 附表 t 分配右尾百分點tα（df ）

90 18 51.12 80

80 16 57.40 === === ===== 420 84 246.00 請回答下列問題： 寫出計算適合此實驗設計的變異數分析表（ANOVA Table），包含來源（source）、 自由度（degree of freedom）及平方和（sum of squares）。（18 分） 以F 檢定（F test）檢定溫度的效果，列出虛無假設與對立假設，檢定統計量、棄 卻域（rejection region）和結論。（8 分） （參考的f 值： ) 279 .4 , 709 .7 , 260 .4 , 621 .2 05 .0, 23 ,1 05 .0,4,1 05 .0, 24 ,1 05 .0, 24 ,5 = = = = f f f f 106年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號： 31480 31680 33980 全一張 （背面） 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 四、某便利商店為了瞭解廣告的促銷效果，在臺北市隨機抽取15 家分店比較廣告前的銷 售量 ix 與廣告後的銷售量 iy ， 15 , ... ,2 ,1 = i 。資料整理如下所示： 廣告前的銷售量 廣告後的銷售量 樣本平均數 800 = x 1200 = y 樣本變異數 1400 2 = x S 2000 2 = y S 另知廣告前後銷售量的樣本相關係數為 85 .0 r = 。擬以簡單線性迴歸模型 i i i x y ε β β + + = 1 0 , ) ,0 ( 2 . .. σ ε N d ii i ～ , 15 , ... ,2 ,1 = i ,分析資料，請回答下列問題： 求斜率（ 1 β ）的最小平方估計值。（10 分） 檢定廣告前後的平均銷售量是否相等？（假設廣告前後的銷售量的母體均滿足變異 數均等的常態分配，顯著水準 10 .0 = α 。）（5 分） 已知廣告前的銷售量是900，求其廣告後的平均銷售量是多少？（10 分） （參考的t 值： ） 761 .1 , 753 .1 , 699 .1 , 697 .1 05 .0, 14 05 .0, 15 05 .0, 29 05 .0, 30 = = = = t t t t