交通技術 107 年統計學考古題

某一箱子有20 顆球，白球10 顆，黑球10 顆。今以取出放回的方式從 箱內隨機抽取3 球。令X 代表白球的個數。 求X = 2 的機率，即P(X = 2)。（5 分） 求X 的動差母函數，即E[e tX ]。（5 分） 求E[X 3]。（5 分） 若隨機變數Y 與X 獨立且兩者有相同的機率分配，求 ] ) [( E 3 Y X − 。 （10 分）

某國營事業單位今年準備以招聘考試招收202 人，其中177 人為正取人員，25 人為 備取人員，今年報考人數共計2500 人，考試滿分為400 分，考試後得知應考人成績 X 服從平均數為μ ，標準差為σ 的常態分配，即X～N(μ ,σ )，且μ =256 分，成績在 360 分以上者共有47 人，請依據上面之訊息，試求：（每小題8 分，共24 分） 這2500 位應考人成績分配之標準差為σ =？ 此項考試正取人員的最低錄取分數為何？ 若某甲參加了這個國營事業單位的考試，而他考試的分數為327 分，則他是否被 錄取為正取？還是備取，抑或是落榜了？

設隨機變數X 服從常態分配，具有平均數 ߤ 未知，變異數4，從該母體 X 取出一組隨機樣本，有5 個觀察值，數值如下：2, 3, 4, 4, 2。現進行 4.1 H0 = μ ： ， 4.1 H > μ ： a 之檢定。 試問該組樣本（前述觀測值樣本）平均數所對應的觀測值的顯著水準 （亦稱p 值）？（10 分） 在型一誤差機率為0.05 之下，試問接受或拒絕虛無假設 0 H ？（5 分） 使用型一誤差機率為0.05 的拒絕域，求 645 .2 H = μ ： a 的檢定力。（10 分） 31780 34280

設二維隨機變量（X ,Y）的聯合機率密度函數為 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > + + = ，其他 0 0 ,0 , )1 ( 6 ) , ( 4 y x y x y x f 試求：（每小題6 分，共12 分） 當Y=y 時，X 的條件機率密度函數 ) ( y x f Y X 為何？  ) 1 1 0 ( = ≤ ≤ Y X P =？

今欲比較某作物四種不同品種平均產量差異比較，分別在三個不同地區 進行，每個地區種植順序完全隨機安排，記錄其產量，共得12 筆資料， 資料符合變異數分析（ANOVA）模型之假設條件，經由分析結果，摘 錄於以下ANOVA 表： 變異來源 df SS MS F 品種 （A） （D） 0.222 （G） 地區 （B） 60.667 （F） （H） 殘差 （C） （E） 總計 72.667 完成上述ANOVA 表內（A）至（H）格的數值。（8 分） 在型一誤差α=0.05 之下，試問該作物四種不同品種平均產量是否有 顯著差異？（8 分） 在型一誤差α=0.05 之下，試問該作物在三個不同地區的平均產量是 否有顯著差異？（9 分）

設由兩個常態母體 )1 , ( 1 1 = σ μ N 及 )2 , ( 2 2 = σ μ N 中分別抽出大小為 及 的兩組獨立隨機 樣本，且令 1 n 2 n 1 X 及 2 X 分別為此兩組隨機樣本的樣本平均數，則：（每小題8 分，共16 分） 估計 2 1 μ μ − 的95%的信賴區間。 試以 1 X ， 2 X 若為使中所求的95%信賴區間長度為最短，且 時，試問 與 應 為多少？ 100 2 1 = + n n 1 n 2 n

考慮簡單線性迴歸反應變數模型 i i i x y ε β β + + = 1 0 ，若誤差 iε 是常態分 配，平均數是0，標準差σ 未知。解釋變數x 與反應變數y 的5 個觀測值 (x1,y1), … ,(x5,y5) ，經計算得到∑ = =

設隨機變數X 服從在[ 1 θ , 2 θ ]上之均等分配（uniform distribution），其中 1 θ , 2 θ 為未知參 數，即隨機變數X 的機率密度函數為 ⎪⎩ ⎪⎨ ∈ ∀ − = ，其他 0 ] , [ , ) ( 2 1 1 2 θ θ θ θ x x f ⎧ 1 又令 為抽自X 之一組大小為n 之隨機樣本，則：（每小題8 分，共24 分） n X X X ,..., , 2 1 隨機變數X 之期望值E(X)=？變異數V(X)=？ 試以動差估計法（the method of moments estimation）求 1 θ , 2 θ 之點估計量。 試以最大概似估計法（the method of maximum likelihood estimation）求1 θ , 2 θ 之點估 計量。 （請接第二頁） 107年公務人員高等考試三級考試試題 32880、37580 全三頁 第二頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學

1 15 i ix ，∑ = = 5 1 20 i iy ，∑ = = 5 1 69 i i i y x ， ∑ = = 5 1 2 55 i ix ，∑ = = 5 1 2 90 i iy 。 求x 與y 的樣本相關係數。（8 分） 以最小平方法求 1 β 的估計值。（7 分） 若 1 β 估計式（estimator）的標準誤是0.253，求 1 β 的95%信賴區間。（10 分） 31780 34280 附表 標準常態分配數值表(右尾機率) Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 例如: P(Z > 1.645)=0.05 自由度 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 1 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 學生 t 分配數值表 (右尾機率) 右尾機率 例如: 在自由度為1時， P(t > 3.0777)=0.10 F分配數值表 (右尾機率) 分母自由度 α 2 3 4 5

某汽車電瓶公司宣稱其所製造的小汽車電瓶之平均壽命為3年，標準差為1年。中華 民國消費者文教基金會為了檢驗該公司的宣稱是否屬實，在市場上隨機抽取五個該 公司所生產的小汽車電瓶做測試，結果得到電瓶壽命資料（單位：年）為1.9, 2.4, 4.2, 3.5, 3.0。假設該公司所生產的小汽車電瓶壽命具常態分配N(μ,σ )，試根據上述資料， 建立該公司所生產的小汽車電瓶壽命標準差σ 之95%信賴區間，並請根據此信賴區間 的結果，判定是否有足夠的證據在顯著水準 0.05 = α 下，判定是否相信該公司對電瓶 壽命標準差的宣稱。（10分）

1 0.05 199.5000 215.7073 224.5832 230.1619 233.9860 1 0.025 799.5000 864.1630 899.5833 921.8479 937.1111 2 0.05 19.0000 19.1643 19.2468 19.2964 19.3295 2 0.025 39.0000 39.1655 39.2484 39.2982 39.3315 3 0.05 9.5521 9.2766 9.1172 9.0135 8.9406 3 0.025 16.0441 15.4392 15.1010 14.8848 14.7347 4 0.05 6.9443 6.5914 6.3882 6.2561 6.1631 4 0.025 10.6491 9.9792 9.6045 9.3645 9.1973 5 0.05 5.7861 5.4095 5.1922 5.0503 4.9503 5 0.025 8.4336 7.7636 7.3879 7.1464 6.9777 6 0.05 5.1433 4.7571 4.5337 4.3874 4.2839 6 0.025 7.2599 6.5988 6.2272 5.9876 5.8198 分子自由度 例如: 在分子自由度為2，分母自由度為2， α=0.05，P(F > 19)=0.05

為瞭解台灣彩券公司4 星彩中獎號碼是否為隨機產生，記錄最近30 期中獎號碼，得 到下列資料： 數字 0 1 2 3 4 5 6

9 出現次數 11 12 10 9 9 10 15 14 17 13 試以 0.05 = α 之顯著水準，檢定最近30 期台灣彩券公司4 星彩中獎號碼之數字出現的 次數分配可否合於均等分配（Uniform distribution）（即檢定0,1,…,9 等10 個數字被 搖出之機率是否相等）？ 可使用那一統計方法？（2 分） 如何利用之方法進行檢定（請寫出完整的檢定步驟）？又檢定的結論為何？（12 分） （請接第三頁） 107年公務人員高等考試三級考試試題 32880、37580 全三頁 第三頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 附統計表：標準常態機率分配表，Z～N(0,1) 2 χ 分配右尾百分點 表 (v) 2 α χ