交通技術 99 年統計學考古題

請敘述或定義下列統計名詞或定理：（每小題10 分，共20 分） 中央極限定理（The Central Limit Theorem） 顯著水準（Significant Level）

假設有一個隨機變數X 的累積分配函數F(x)給定如下： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ < ≤ < ≤ < = 15 1 15 10 4 / 3 10 5 4 / 1 5 0 ) ( x x x x x F 請計算出X 之密度函數 ) (x f 。（5 分） 請計算出X 之期望值E(X)。（5 分）

啟生醫院急診室陳主任想瞭解今年前半年該院急診病患之住院天數情形，陳主任自該院 今年前半年急診病患名單中以系統抽樣隨機抽出15 位病患為樣本，經查他們在啟生醫院 之住院天數如下：37, 4, 20, 7, 15, 3, 6, 12, 2, 4, 5, 1, 10, 2, 7（註： 和∑ ）。試根據上述樣本資料，求：（每小題6 分，共24 分） i i 平均數（x） 變異數（ ） 2s 中位數（me） 請繪出盒形圖（boxplot），又此一樣本資料是否有潛在離群值（outlier）存在？ 若有，請指出並寫出你（妳）的依據。

假設 ) (t M X 表示隨機變數X 之動差母函數（moment generating function），而且 2 5. 312 650 t t ) ( X e t M = + 。請計算出：  ) 675 625 Pr( < < X 之值？（5 分） 如果 9544 .0 ) 650 Pr( = < − k X ，請計算出k 之值？ （5 分）

河川管理局在建設河川防洪堤防時均會考慮河川的年最大洪水位。河川管理局在建 設淡水河堤防時，假設在任何一年中最大洪水位超過某一規定的堤防設計水位高度 h 的機率為0.1，試問： 在未來3 年中淡水河有一年最大洪水位超過h 水位高度的機率有多大？（10 分） 在未來5 年中淡水河至多有一年最大洪水位超過h 水位高度的機率有多大？（10 分）

假設有一個隨機變數X 是服從卜瓦松分配（Poisson distribution），而且其期望值 10 = µ ，請回答下列之問題： 請計算出 ) 15 5 Pr( < < X 之下界值？（5 分） 請計算出 ) 11 9 Pr( 25 < < X 之下界值？（5 分） 請計算出 ) 2 / 3 / 2 / 1 Pr( < < µ X 之下界值？（5 分）

紅海公司對98 年進入該公司的新進員工進行調查，以瞭解員工就職前失業期間的 長短，人事經理隨機自98 年進入該公司的新進員工中抽訪100 人，其中具研究所 學歷者36 人，具大學學歷者64 人，且調查顯示具研究所學歷者就職前平均失業期 間為5.2 個月，標準差為2.4 個月；具大學學歷者就職前平均失業期間為7.8 個月， 標準差為3.6 個月。試問： 該公司98 年兩種學歷（研究所及大學）的新進員工，就職前之平均失業期間差 異的95%信賴區間為何？（12 分） 是否可由的結果，在顯著水準 05 .0 = α 下做出該公司98 年兩種學歷（研究所及 大學）的新進員工，就職前之平均失業期間有顯著差異的結論嗎？請說明你（妳） 的依據。（12 分） 99年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 全一張 （背面） 31580 31880 31980 32180 34680

假設有一個X 與Y 之聯合機率密度函數f(x,y)=6x, 0<x<y<1，f(x,y)=0,其他。請回答 下列之問題： 請計算出X之密度函數fX？（5 分） 請計算出X 與Y 之共變異數（co-variance）COV(X,Y)？（5 分） 請計算出 ) ( x Y E ？（5 分）

設隨機變數X 之分配為具參數λ 之波瓦松分配，即 0 , 0 , ! ) ( ~ > > ⋅ = − λ λ λ x x e x f X x 。 設 為自此波瓦松分配所抽出之隨機樣本，試求參數λ 的最大概似估計 式（MLE）。（12 分） n X X X ,..., , 2 1 【註】附統計表：標準常態分配機率分配表; r. v. Z~N(0,1) P[Z < z] Z~N(0,1) 0 z

假設有一組n個隨機樣本X1, X2, …, Xn彼此互相獨立，而且具有相同的指數分配 θ θ θ e x f = ) ; ( x − 1 ， ∞ < < θ, 0 x 。請回答下列之問題： 請計算出θ 之最大概似估計式（MLE, Maximum Likelihood Estimator）？（5 分） 請計算出 n X 之Rao-Cramer 下界值？（10 分） 99 年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 統計、經建行政、農業行政、交通技術 全一張 （背面） 31980、32480 32880、37280 ,... 2,1,0 , ) 1( ) ; ( = − = x p p p x f x 0 ) ; ( 六、假設有一組隨機樣本X1, X2,…, Xn彼此互相獨立，而且具有相同的分配。如下所示 ; = p x f ,其他。請回答下列之問題： 請計算出p 之最大概似估計式（MLE）？（10 分） 請計算出 之最大概似估計式（MLE）？（10 分） p p /) 1( − 七、假設有某農業試驗所想要了解四塊土壤品質不同的農地（農地編號A、B、C、D）， 並利用三種品牌之肥料（品牌編號甲、乙、丙）來生產稻米。試驗之稻米產量資料 如表所示：（以顯著水準＝0.05 來檢定） 肥料 農地 甲 乙 丙 A 51 42 57 B 56 59 65 C 61 69 71 D 63 55 53 請建立上述資料之變異數分析表（ANOVA）？（10 分） 請檢定土壤品質是否對稻米的產量有影響？（5 分）