交通技術 105 年統計學考古題

下表為102 年度各縣市之自有財源占歲出比與人事費占自有財源比的資料。（桃園於 103 年12 月25 日後升格改制為直轄市） 類別 縣市別 自有財源占歲出比（%） 人事費占自有財源比（%） 直轄市 新北市 76 59.89 臺北市 79 59.67 桃園市 81 73.80 臺中市 73 61.55 臺南市 65 70.10 高雄市 70 75.73 市 基隆市 55 101.83 新竹市 75 71.76 嘉義市 57 95.41 縣 宜蘭縣 56 98.61 新竹縣 66 84.94 苗栗縣 42 113.48 彰化縣 51 121.02 南投縣 53 109.54 雲林縣 48 120.77 嘉義縣 38 140.21 屏東縣 41 152.01 臺東縣 37 160.36 花蓮縣 45 124.21 離島 澎湖縣 27 111.98 金門縣 94 33.81 連江縣 21 141.96 假設各縣市之自有財源占歲出比與人事費占自有財源比皆服從常態分配，請回答以 下問題： 在顯著水準為0.05 下，檢定自有財源占歲出比與人事費占自有財源比的母體平均 數是否相等。（8 分） 若以自有財源占歲出比為解釋變數，人事費占自有財源比為反應變數，依此建立一 簡單線性迴歸模型，請以最小平方估計法，計算此迴歸模型之截距與斜率。（10 分） 將各縣市分為「直轄市」、「市」、「縣」及「離島」等四類（如表格中之「類別」 一欄所示），且假設各類別下各縣市之人事費占自有財源比皆服從常態分配。在顯 著水準為0.05 下，請以單因子變異數分析檢定各類別之人事費占自有財源比的母 體平均數是否都相等。（12 分） （請接第二頁） 105年特種考試地方政府公務人員考試試題 31980、34480 全五頁 第二頁 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學

設一批12 部裝之電視中有3 部有瑕疵，今隨機抽出3 部檢驗，若令隨機變數X 為檢 驗出之良品數，並且當「3 部均為良品時，整批接受；否則退貨」。 若採抽驗後不放回方式，試寫出X 之機率分配式、平均數及變異數；並求整批電 視機被接受之機率為何？（8 分） 若採抽驗後放回方式，試寫出X 之機率分配式、平均數及變異數；並求整批電視 機被接受之機率為何？（8 分） 若採抽驗後不放回方式，試求在第3 次檢驗中始驗出第1 部有瑕疵電視機之機率 為何？（4 分）

某大企業集團有A、B、C 三個事業群，事業群A 下置有四個單位執行長，事業群B 下有三個執行長，事業群C 下有兩個執行長。若集團董事會將隨機由此九個執行長 選派三人至集團總管理處，令隨機變數1Y 與 2 Y 分別代表事業群A 和事業群B 會被選 派到的人數： 請寫出1Y 與2 Y 的聯合機率分配函數。（5 分） 1Y 的邊際機率分配函數。（10 分） 1Y 與2 Y 是否為互相獨立？請詳述理由。（10 分）

自母數為λ 之卜瓦松分配（Poisson Distribution）抽出一大小為n 的隨機樣本 , , 2 1 X X … n X , ，以估計此一未知母數λ 。 試據動差法（Method of Moments）求λ 之估計量。（6 分） 試據最概法（Method of Maximum Likelihood）求λ 之最概估計量（Maximum Likelihood Estimator） MLE λˆ 。（6 分） 驗證 MLE λˆ 是否符合優良點估計量之一致性（Consistency）及充分性（Sufficiency）。 （8 分）

若Y 之機率密度函數如下： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < < Φ − Φ = 其他 0 ) ( ) ( ) ( ) ( b y a a b y y f φ 其中 ) (y φ 與 ) (y Φ 分別為標準常態分配的機率密度函數與分配函數。請推導求得Y 的 期望值 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a b b a Y E Φ − Φ − = φ φ 。（13 分）

設隨機變數X 表一商品上升之價格（元），Y 表該商品銷售量降低之百分比（%）， 其聯合機率分配如下表： y x 10 20 30 5 10 15 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 求X 之邊際機率分配。（4 分） 求 x μ 及 2 x σ 。（8 分） 若已知 20 = y μ , 60 2 = y σ ，求相關係數ρ 。（5 分） 求( ) 20 5 = = y x f 。（3 分） （請接第二頁） 105年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 全四頁 第二頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 22780 22980 23180 27780

下表為今年度高考三級錄取人數最多的前5 類的到考人數與錄取人數，包括土木工 程、財稅行政、人事行政、會計及一般行政。 類科 到考人數 錄取人數 土木工程 1691 436 財稅行政 2382 208 人事行政 2840 204 會計 1542 180 一般行政 3171 170 在顯著水準為0.05 下，請檢定「類科」和「錄取與否」是否有關。（12 分）

兩變數x 及y 之5 個觀察值如下： x 1 2 3 4

若有兩組獨立隨機樣本，分別以 } ,..., , { 1 1 12 11 n Y Y Y 與 } ,..., , { 2 2 22 21 n Y Y Y 表示之，此兩組樣本 各抽自具不同母體平均數的常態分配，但有相同的母體變異數σ²。令1Y 與 2 Y 為第一、 二組資料的樣本平均數， 2 1s 與 2 2s 分別為其樣本變異數，定義如下： 2,1 1 ) ( 1 2 2 = − − = ∑ = i n Y Y s i n j i ij i i 請回答以下問題： 若 2 )1 ( )1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 − + − + − = n n s n s n s p ，則 2 p s 是否為σ²的不偏估計？請詳述理由。（10 分） 計算求得 2 p s 的變異數。（10 分） （請接第三頁） 105年特種考試地方政府公務人員考試試題 31980、34480 全五頁 第三頁 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 （請接背面） （請接第四頁） 105年特種考試地方政府公務人員考試試題 31980、34480 全五頁 第四頁 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 2 χ 分配表 （請接第五頁） 105年特種考試地方政府公務人員考試試題 31980、34480 全五頁 第五頁 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 （請接背面）

y 3 7 5 11 14 今已求得： 3 = x , 8 = y , ∑ = − − 26 ) )( ( y y x x , 10 ) ( 2 = − ∑ x x , 80 ) ( 2 = − ∑ y y , 40 . 12 )ˆ ( 2 = − ∑ y y 試用最小平方法配合迴歸直線 bx a y + = ˆ 。（5 分） 試求相關係數。（5 分） 驗證估計標準誤（Standard error of the estimate） 033 .2 = es 。（5 分） 試求母體迴歸係數β 之95%信賴區間。（5 分） 五、設某電子廠兩生產線之產品重量服從常態分配，今分別自該兩生產線隨機各抽取大 小為5 之樣本，得其產品重量﹙單位：公克﹚如下所示： 生產線A 42 34 40 46 38 生產線B 46 40 44 44 36 試驗證生產線B 之 42 = B x ， ( ) 16 1 2 2 2 2 = − − = ∑ B B n x x s 。（6 分） 今若另求得生產線A 之 40 = A x , 20 2 = A s 。試以 10 .0 = α 之顯著水準，檢定 2 2 0 : B A H σ σ = 是否成立？（6 分） 以 10 .0 = α 之顯著水準，檢定兩生產線所有產品之平均重量是否有差異？（8 分） （請接第三頁） 105年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 全四頁 第三頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 22780 22980 23180 27780 參考數值表摘錄 標準常態分配數值表 （請接第四頁） 0 z Area = P(0 z z0) ≤ ≤ z0 105年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 全四頁 第四頁 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 22780 22980 23180 27780 2 995 .χ 2 99 .χ 2 975 .χ 2 95 .χ 2 05 .χ 2 025 .χ 2 01 .χ 2 005 .χ 2 α χ t 分配數值表 χ2 分配數值表 F 分配數值表 tα d.f. Fα 0 Values of F0.05 Degrees of freedom for numerator α α α Degrees of Freedom d.f. 0 Degrees of freedom for denominator