機械工程 112 年自動控制學考古題

如下圖所示之ㄧ質量為m，長度為2l 之倒單擺（Inverted Pendulum）系 統，以無質量之水平塊的水平移動量x為輸入，旋轉角度為輸出，其中 之初始角度為 o 且初始角速度為零，假設旋轉角度與 o 皆小於5，試 推導該系統於旋轉軸的扭力平衡方程式。（10 分） 繪製以旋轉角度為輸出，且以初始角度量 o 與水平移動量x 同為輸 入之拉式（Laplace Transform）方塊圖（Block Diagram）。（15 分）

一單位負回授系統（unity negative feedback control system），其開路轉移 函數為 2 2 2 ( 1) 10 ( ) 2 10 s K s G s s s        ，K 為增益（gain），試 利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定所需增 益K 之範圍為何。（10 分） 繪製該閉迴路系統之根軌跡圖（Root Locus），且推導其分離角 （Departure Angle）。（15 分）

如下圖之二階系統單位負回授系統，由特定之小振幅方波脈波鏈（square wave pulse train）輸入下，得到很大的正弦波輸出，試 繪製閉迴路系統之波德圖，且標示頻率與增益及相位的關係。（15 分） 說明可以得到了正弦波輸出，該方波脈波鏈的輸入頻率（Hz）應該為 何，增益K 與常數a 的限制條件，輸入與輸出之相位差為何。（10 分）

在ㄧ3D 列印機的閉迴路控制之微處理機程式中，有ㄧ個陣列C[1000]用 於儲存類比數位轉換（Analog-to-digital Converter; ADC）的輸入c(t)資 料，另ㄧ個陣列R[1000]用於儲存使用者輸入的數位資料，另ㄧ個陣列 U[1000]用於儲存輸入數位類比轉換（Digital-to-Analog Converter; DAC）的 輸出u(t)資料，該微處理機中有ㄧ頻率為1MHz 之時脈產生器（Clock）以 同步化該ADC 輸入與DAC 輸出，試舉例說明（每小題5 分，共25 分） 時間t 與第k 個記憶體的關係。 c(t)為何物理量。 u(t)為何物理量。 R[k]為何數值量。 當ㄧ個陣列E[1000]用於儲存誤差E[k] = R[k] C[k]時，如何由E[k]產 生對輸出U[k]之控制。 微處理機 (控制器) 3D 列印機台 DAC ADC ݑ(ݐ) ܿ(ݐ) 時脈 信號