機械工程 112 年自動控制考古題

考慮一回授控制系統如下圖，若 1 ( 2)

圖一為一控制系統方塊圖，其中r(t)為輸入，y(t)為輸出。 （每小題10分，共30分） 圖一 假設K = 1且輸入為ㄧ單位步階（unit step）函數，求解輸出y(t)。 假設K = 1，求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為 單位。 如欲使此系統之相位邊界（phase margin）為135°，比例控制器K值該如 何設計？

( ) K s G s s    ： 試推導從( ) R s 到( ) Y s 的轉移函數 ( ) ( ) C s R s 。（10 分） 請判斷能使系統穩定時，K 的範圍。若欲使( ) R s 為步階輸入時，( ) C s 與 ( ) R s 之間的穩態誤差趨近於零，試說明系統穩定時此目標不可能達到。 （15 分） 二、考慮一單位負回授系統如下圖，若 ( 10) ( ) ( 1)( 2)( 4) K s G s s s s      ： 試說明此系統之型態（system type），並設計最小之整數K 值以使其步 階響應之穩態誤差能小於參考輸入的2.5%，並請判斷此設計是否能使 系統穩定。（15 分） 若此設計無法使系統穩定，試說明應採用P、PI 或PD 控制補償以達成 要求。（10 分） R(s) - + C(s) G1(s) G1(s) s+1 s2+5s+6 G(s) R(s) Y(s) - +

圖二為一典型的倒單擺系統，包含台車、支桿、與一個位於支桿頂端的重 物。F是施加於台車的力，倒單擺支桿與垂直地面的夾角為θ，而x表示台 車的位移。 圖二 經過簡化後，假設此倒單擺系統的動態方程式可表示成： 0.1ݔ̈ −0.01ߠ̈ = ܨ 0.2ߠ̈ −10ߠ= ݔ̈ 求解此系統之轉移函數（transfer function），ℒ{ߠ}/ℒ{ܨ}，其中ℒ代表拉 普拉斯轉換（Laplace transform）。（10分） 繪出此系統（輸入為F，輸出為）之波德圖（Bode plot）以表示其之頻 率響應。波德圖應包含以分貝（dB）為單位之增益（gain）圖與相位 （phase）圖兩個部分。（20分）

如圖所示，一齒輪-齒條機構被用於帶動一機械負荷，包含其慣性( ) M 、阻 尼( ) B 與彈簧( ) K 效應，齒條之質量已被包含於慣性質量M 之內，另齒輪 半徑r，並帶有轉動慣量( ) J 與轉軸阻尼( ) D 。T 為所施加之力矩，齒輪之 旋轉角度( ) 與物體位移( ) x 之坐標定義如圖。 推導出以T 為輸入、x 為輸出的轉移函數 ( ) ( ) X s T s 。（10 分） 當

考慮一單位負回授（unity negative feedback）閉迴路（closed-loop）控制系 統，其開迴路（open-loop）轉移函數為 2 ( 4)( 5)

J  , 8 D , 2 r  , 1 M 時，設計B 與K 之值以使系統的主極點具 有阻尼比（damping ratio）為0.5 且自然頻率為3。若設法將齒輪改成極 輕因而J 可忽略不計，且系統其他參數均不變，請問此時系統的阻尼比 與自然頻率將分別如何變化（變大或變小）？（15 分） 四、一轉移函數 1000 ( ) ( ) ( )( 1000) Y K G s s U s a s     ： 若當輸入( ) 2cos(3 ) u t t  時，輸出( ) 6cos(3 ) 6 y t t    ，依此資訊估算K 與 a 之值。（10 分） 概略畫出系統 ( ) G s 之奈氏圖（Nyquist plot），估算系統之增益邊限 （gain margin）與相位邊限（phase margin），並標註於奈氏圖上。（15 分） M B K T,  J, D x radius = r

K s s s    。 欲使此閉迴路控制系統穩定之K值範圍為何？（5分） 設定K為正數。繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot），並標 示出極點（pole）、零點（zero）、根軌跡與虛數軸交會之位置、根軌跡離 開實數軸的位置（breakaway point）與進入實數軸的位置（re-entry point）， 以及各所對應之K值。（20分） 如欲使此閉迴路控制系統對於步階輸入之2%安定時間（settling time）為 2秒，則K值該如何設計？且此設計下控制系統的阻尼比（damping ratio） 應為何？（10分） 如欲使此閉迴路控制系統對於步階輸入之穩態誤差（steady state error） 為-10%，則K值又該如何設計？（5分）