機械工程 104 年自動控制考古題

N N n = ) ( 1 b J s s + f m R K 一、如圖所示為一機電開回路控制系統。發電機，於等速度下驅動，供應場電壓給馬達。 馬達之慣性矩Jm及軸承摩擦係數bm。假設馬達產生之扭矩Tm(s)，為Tm(t)的拉氏轉換， 比例於電流Ig(s)，為ig(t)的拉氏轉換，其比例常數為Km，試求：(a)轉移函數θL(s)/vf (s)？ (b)畫出系統方塊圖？（假設發電電壓vg(t)比例於場電流if (t)）（20 分）

若一個標準二階機械系統的微分方程式如下： 150 y 25 dt dy 10 dt y d

已知下列單位回饋系統 繪製開路系統（open loop）根軌跡圖 )

有一機械手夾具如圖所示圖(a)部分，可使用直流馬達控制接近於角度θ 如同圖(b)部 分。控制系統之模式如圖(c)所示，其中Km=30，Rt=1 Ω，Kf=Ki=1。J=0.1，b=1。 試求：(a)決定反應θ(t)對於θd (t)？當K=20；(b)假設θd (t)=0，求負荷干擾效應？ Td (s)=A/s；(c)決定穩態誤差ess？當輸入為θd (t)=t，t > 0（假設Td = 0 ）。（30 分） + － Rf Lf if (t) + － vg(t) ig(t) Lg Rg Rf Lf Ia 馬達 N1 N2 θL 齒輪比 負載 JL ,bL 發電機 圖(a) θ θd 控制鈕 Vo 位移計 差動的放大器 動力放大器 直流馬達 θ J Vo θd (s) + － Ki K 動力放大器 Kf + － Td (s) θ(s) 圖(b) 圖(c) vf (t) 位移計 回授信號 104年公務人員特種考試關務人員考試、 104年公務人員特種考試身心障礙人員考試及 104年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 全一張 （背面） 考 試 別： 關務人員考試 d φ 1 ) (

2 = + + 求：無阻尼之角頻率。（3 分） 阻尼比。（2 分） 當系統的初始條件為 0 ) 0 ( = y ； 2 ) 0 ( − = y& ，求微分方程式之響應解？（15 分） 二、畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡。（20 分） 其中K 值為正值，說明系統的穩定度。（5 分） 5 s 4 s 1) K(s 2 + + +

( + s s K ， 0 > K 。（5 分） 假設閉路系統的主根在

2 + + s s τ α α 1 2 1 α − s φ s 1 s 1 1 1 2 + + s s τ )1 ( + s Ka )1 ( 1 + s )1 ( 25 .0 + s s 1 s 1 三、試決定K 值的範圍，使系統於穩定操作循環？當α1=g/h=9，α2=V2/hc=2.7，及 α3=V/hc=1.35。假設機車於定速下V=2 m/s。控制器的時間常數τ = 0.2 s，且K > 0。 （20 分）

下列一閉迴路系統之比例控制器為Kp，試求： 當自然頻率為2 弳/秒（rad/s）時的比例控制器Kp 為多少？（5 分） 在此頻率下的阻尼比為何？（3 分） 如果將受控系統之輸出加上一速度迴授Kvs，則在相同角頻率的情形下，速度增益 應該為多少才能使阻尼比加倍？（10 分） 寫出系統在有輸入R 與擾動D 情況下，所對應Y 的輸入與輸出之微分方程式 （differential equation）。（12 分）

2 2 j ± − ，求不足的角度（angle deficiency）是多少？ （5 分） 設計PD 控制器 z s s Gc + = ) ( 。求K 及z。（10 分） 畫補償後系統（compensated system）的零點，極點，主根等示意圖在 ) , ( D 2 ω σ 平面上，並連線之。（5 分） 二、已知下列單位回饋系統 其中受控體 ) (s G 的動態方程式為 ) ( ) ( t u t y = && ， 0 ) 0 ( ) 0 ( = = y y & 。假設有四種不同控制 器（ P s Gc = ) ( ，PD，PI，PID）可供選擇。（每小題5 分，共20 分） 要分析穩態誤差 ) ( ) ( ) ( ∞ − ∞ = ∞ y r e ，先分析那一種控制器，就可窺全貌？ 寫出所對應的 ) ( ) ( ) ( s Y s R s E − = 。 何種控制器無法研究 2 1 ) ( s s R = 的穩態誤差？ 根據請說明原因。 三、已知下列常微分方程式 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( t u t u t y t y t y + = + + & & && , 0 ) 0 ( = y , 0 ) 0 ( = y& 求其轉移函數 ) ( ) ( ) ( s U s Y s G = （transfer function）。（5 分） 求其狀態方程式（state space equation）。（需有推導過程，請由右至左定義系統 狀態。）（15 分） Ｒ(s) Y(s) K s(s+2) Σ - Gc(s) Σ R(s) Y(s) G(s) Gc(s) - 104年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面）

圖示為一典型之鋼帶維持等張力系統。環圈（Looper）具有2 到3 呎（ft）長之臂， 於端點有一滾子，可被馬達提起並壓於鋼帶上。典型之通過環圈鋼帶速度是 2000 ft/min。一比例於環圈位置之電壓與一參考電壓比較並被積分，其被假設為改 變環圈之位置比例於改變鋼帶之張力。控制器之時間常數τ，是可忽略相對於系 統之其他時間常數。(a)試繪出控制系統之根軌跡？0<Ka<00；(b)試決定增益值 Ka=？ξ=0.707；(c)決定τ 的效應？當它由可忽略之量逐漸增加時。（30 分） c.g.=重力中心 V 速度 h c (a) (b) + － 想要的角度 控制器 動態系統 回授量測信號 1+2s+Ks2 實際角度 D(s) 干擾 鋼帶 滾子 馬達 放大器與發 電機 環圈 滾子 + － R(s) eref 控制器 放大器 發電機 馬達 滾子 Y(s) + －

以漸近線（asymptote）的方式繪出下列轉移函數的波德圖（Bode plot）。（25 分） 25) s 3 s(s 5.2 2 + + ＋ － R Y Kp )1 ( 1 + s s ＋ － ＋ ＋ D R Y KP )1 ( 1 + s s Kvs ＋ －

請畫出下列轉移函數之波特圖（Bode magnitude）。只需畫直線逼近圖（high/low asymptotes），但截頻點，斜率，數值要對才給分。（每小題5 分，共15 分） ) 40 )( 1 2 ( ) 20 ( 200 ) ( + + + = s s s s s G 將轉移函數化為最簡標準式（standard form）由K，s 及 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +1 iz s 組成。 化為最簡標準式的目的何在？ 畫3 個極點（poles）的波特圖（Bode magnitude）。

高階的伺服平台常會使用氣浮軸承以致其固態運動模式（rigid body mode）極為明 顯，再加上馬達驅動器的一部分電路動態就成了以下式所表示的系統： ) 500 ( 1 ) ( 2 + = s s s G 此系統有三個極點，且其中有兩個在原點處，其波德圖如下圖所示： 請問以吾人熟悉的相位領先或相位延後控制器（lead/lag compensator）有沒有可能達 成穩定的閉迴路控制？若有，請設計並計算一個可穩定的控制器。（20 分） 0 Bode Diagram -20 -40 -60 -80 0 -45 -90 Bode Diagram 10-2 10-1 100 101 102 103 105 104 Phase (deg) Magnitude (dB) 101 102 103 104 0 -50 -100 -150 -200 -180 -225 -270 Frequency (rad/s) Phase (deg) Magnitude (dB) Frequency (rad/s)

考慮一非單位回饋（non-unity feedback）系統。（每小題5 分，共20 分） 求該閉路系統之轉移函數。 將該非單位回饋系統轉成等效單位回饋（unity feedback）系統如下，試求 ) (s Z 。 求非單位回饋（non-unity feedback）系統之誤差常數（error constant） v K （寫出 推導式，非數值）。 如何確認答案正確？ Gc(s) Σ R(s) Y(s) G(s) H(s) R(s) Y(s) Z(s) Σ - -