機械工程 107 年自動控制考古題

有一馬達其扭力與轉速特性曲線如下圖所示，經由齒輪比1：3（N1=50：N2=150） 帶動圖中負載，在馬達本身電感效應不計情況下，請推導下列項目： 如橫跨馬達兩端之電壓為 ) (t K V m b b ω = ，馬達之輸出扭力為 ，試推導出此 動力系統之轉換函數 a ti K T = ) ( ) ( ) ( s E s s G a L θ = 。（10 分） 利用項之開迴路轉換函數 ) (s G ，畫出具有串聯PD 控制器之單位負迴授（unit negative feedback）閉迴路控制系統之方塊流程圖。（5 分） 如果所指定之閉迴路控制系統的設計要求為：系統阻尼比（damping ratio）為0.5，而 且2%誤差之穩定時間（Ts）為2 秒，請算出PD 控制器之KP與KD增益值。（10 分） Ra J1=2 kg-m2 N1=50 D1=2 N-m-s/rad J2=18 kg-m2 ) (t L θ 50 V 150 100 T (N-m) ea(t) N2=150 D2=36 N-m-s/rad ) rad/s ( ω

如下圖左之線性系統中，其中u(t)為輸入，c(t)為輸出，g(t)為系統轉移函數，如果系 統初始為靜止，而輸入u(t)=1時之系統輸出c(t)=1– e -3t，t ≥ 0，試問： 當u(t)為任意時間函數時，其輸出為何？（8 分） 如圖右實施Laplace 轉換求解C(s)時，其中G(s)為何？ uሺt)的限制條件為何？（7 分） 該系統微分方程式為何？（5 分） 依據的解，如果用數值模擬，讓t = kT，3T≪1，寫成c(k) = βc(k–1) +3Tu(k)，β 為何？（5 分）

由下圖之單位負迴授（unit negative feedback）系統與轉換函數，試問下列項目： ) 10 )(

如下圖之單位負迴授系統（unity negative feedback control system）， 其中G(s) = s3/(s+p)3，p > 0，試問： 利用羅斯穩定準則（Routh stability criterion）推導該系統為穩定時，所需比例增益 K 之範圍為何？（8 分） 試繪製該系統對應不同比例增益K 之根軌跡圖（root locus plot），標明所需標記之 特徵的對應值。（10 分） 當R(s) = 0 而C(s)仍有非零穩定輸出時之K 與s = jω 中之ω 為何？（7 分）

( ) 17 ( ) ( + + + = s s s s K s G ) (s C ) (s R + − ) (s G 利用羅斯-赫維茲穩定性（Routh-Hurwitz stability）準則，計算出可使此閉迴路系統 穩定之增益K 值之範圍，並運用根軌跡漸進線之原理，求K 值趨近於無窮大時之 閉迴路系統的三個根值。（15 分） 先計算出分離點、漸進線角度、軌跡與實數軸交叉點，以及與ω j 虛軸上之交點後， 再畫出此系統之根軌跡（root locus）圖。（10 分） 107年公務人員特種考試關務人員、 身心障礙人員考試及107年國軍上校 以上軍官轉任公務人員考試試題 全一張 （背面） 考試別： 關務人員考試 等 別： 三等考試 類 科： 機械工程 科 目： 自動控制 三、下圖為具比例控制之馬達單位負迴授（unit negative feedback）系統的方塊流程圖， 馬達之開迴路轉換函數為 ) ( ) ( ) ( α + = s s K s E s a m θ ，當馬達以10 V 電壓輸入時，可在0.5 秒 時達到其穩態轉速值之63%，而穩態轉速值為100 rad/s。如比例控制之設計目的， 為達成此位置控制系統之速度常數（velocity constant）Kv=30，試求出K、α及 比例控制之增益K1 三個參數之數值。（25 分） ) ( α + s s K m θ ) (s C α E ) (s R + − Ea

如下圖之單位負迴授系統，其採用PD 控制器，其中JkP 2 = 104KkD 2，當輸入R(s)=1/s 時之位置穩態誤差（steady state error）ess = 0.01，試問： 由位置穩態誤差求取K 與kP 間之關聯方程式。（5 分） 繪製開迴路轉移函數G(s) = (kP+kDs)/(Js2+K)之波德圖（Bode Diagram），標明所需 標記之特徵的對應值，並註記ω = 0 時之dB 值。（10 分） 當閉迴路系統阻尼係數ξ（damping ratio）= 0.7 時，求取kD 與J、K 之關係。（5 分） 當增益交越頻率ωg（gain crossover frequency）= 32 Hz 時，求取J、K、kP、kD 間 之關聯方程式。（5 分） 1 Js2+K E(s) R(s) C(s) kP+kDs KG(s) E(s) R(s) C(s) g(t) u(t) c(t) G(s) U(s) C(s) 107年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面） 類 科： 機械工程 科 目： 自動控制

某一兩階線性系統之動態特性可由下列狀態方程式描述之 u x x x x x + = − = 1 2 2 1 1

如圖之一質量塊滑動於無摩擦平面，質量塊由一直流馬達（DC motor）轉動時規皮 帶（timing belt）帶動，該馬達半徑為r，轉速以ω 表示，欲以負迴授控制位置x 時， 將比較命令xcmd 與該位置x 之差異，輸入至PI 控制器以產生馬達電壓，達成質量塊 位置控制時，試問： 感測器若為光學尺（Linear scale）應安裝何處？如何安裝？（5 分） 質量塊方塊圖（Block Diagram）輸入是推動質量塊之力F(s)，輸出是速度V(s)及 位置X(s)，其方塊圖模型為何？（5 分） 馬達輸入是電樞電壓Ua(s)，輸出是推動質量塊之力F(s)，其方塊圖模型為何？Ra 是電樞電路的電阻（Ohm），La 是電樞電路的電感（Henry），Cm 是電動機轉矩係 數（Newton·meter/Ampere），Ea 是電樞反電勢，Ce 是反電勢係數（Volt/rad/sec）。 （7 分） 閉迴路系統轉移函數X(s)/Xcmd (s)展開成代數分式（rational polynomial）為何？（8 分） ݉ 馬達 r x, v

( 4000 + − + + s s s s R(s)

2   狀態迴授控制器設定為u = -k1x1－k2x2，其中k1 與k2 為兩個正實數常數。 若此閉迴路系統具有2%誤差之穩定時間(Ts)為2 秒，且無阻尼自然頻率 4 = n ω rad/s 時，試求出k1 與k2 之值。（15 分） 若此閉迴路系統之設計要求更改為具有阻尼比（damping ratio） 2 / 2 = ς ，且峰值 時間為 2 / π = p T 秒，試求出此時之k1 與k2 值。（10 分）