機械工程 100 年自動控制考古題

已知開路（open-loop）傳遞函數（transfer function）為 ) 5 4 ( 2 + + s s s K 試繪出該控制系統的根軌跡（root locus）。（20 分）

考慮一個控制系統的輸出對輸入轉移函數為 25610 )(2++=sssG，請估計並畫出此系統對單位步階輸入函數的輸出時間響應，標明安定時間、峰值時間及最大超越量。（25 分）

由圖一中所示之機電系統： 利用所提供之馬達扭矩與轉速特性曲線求出馬達之扭矩常數 與電阻 之關係 式以及背電動勢（back emf）比例常數 之值。（10 分） t K a R b K 試求出此機電系統之開迴路轉換函數 ) ( ) ( ) ( s E s s G a L θ = ，其中 與 分別為第一轉軸 與第二轉軸之摩擦阻尼係數， 與 為齒輪之齒數。（15 分） 1 D

利用阻尼比（damping ratio）和自然頻率（natural frequency），寫出具有一對共軛極 點（complex poles）的二階（2nd order）傳遞函數，然後繪出其波德圖（Bode plot）， 其中阻尼比分別等於0.1, 0.3, 0.7。（20 分）

考慮如下的系統狀態空間方程式，其中x 為狀態，r 為輸入，y 為輸出。請計算出此系統的輸出對輸入轉移函數。（25 分）rxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−= 100052 301010 0&；[] xy001=三、考慮一個控制系統的特性方程式如下所示，請利用羅斯法則求出該系統在s 的右半平面、左半平面及虛軸上各有幾個特性根？（25 分） 016321 622456 =−−−++sssss四、假設一個單位負迴授系統，其順向路徑轉移函數如下所示。請分別詳述如何利用根軌跡作圖法設計PD 補償器PI 補償器，以改善原系統的性能。說明PD 和PI 補償器優點各為何？（25 分）)3)(2)(1()(+++=sssKsG

D 1 N 2 N Ra ea(t) + − J1=2 kg-m2 J2=18 kg-m2 N1=50 D1=2 N-m-s/rad N2=150 D2=36 N-m-s/rad θL(t) T(N-m) ω (rad/s) 50V 150 100 圖一 二、某一控制系統之方塊圖（block diagram）如圖二所示，試設計一個PID 控制器 s K s K K s G i d p c + + = ) ( ，使得此閉迴路系統滿足下列設計規範。（25 分） 對於斜坡輸入（ramp input）之穩態誤差為其斜坡輸入值之5%。 閉迴路系統之特徵方程式（characteristic equation）具有阻尼比（damping ratio） 75 .0 = ς 及無阻尼自然頻率 5 = n ω sec / rad 之一對共軛複數根。 + − R(s) Gc(s) C(s) 25 5 25 2 + s s + 圖二 100年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 機械工程 全一張 （背面）

已知傳遞函數表示式 1 2 5 1 2 + + + s s s 試寫出其時間域（time-domain）方程式。（20 分）

某單一負迴授（unit negative feedback）系統的開迴路轉換函數為 ) 2 2 )( 3 ( ) ( 2 + + + = s s s s k s G ，試求出下列數值並繪出其根軌跡圖： 根軌跡之漸近線（asymptotes）與實數軸之交叉點及漸近線趨向無窮遠處之角度。（5 分） 根軌跡離開共軛複數根（complex conjugate poles）之離開角度（angle of departure）。（5 分） 求出此系統達到臨界穩定（marginal stability）時之k 值。（5 分） 試繪出此系統之根軌跡圖（root locus）。（10 分）

試檢驗下列系統的可控制性（controllability）與可觀測性（observability）。（20 分） , 0 1 2 0 1 1 u x x ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = & [ ]x y 0 1 =

某一兩階線性系統之動態特性可由下列狀態方程式描述之： u x x x x x + = − = 1 2 2 1 1

共振峰值（resonance peak）能否用來表示控制系統的穩定性（stability）？為什麼? 阻尼係數（damping coefficient）能否用來表示控制系統的穩定性？為什麼？（10 分） 六、在道路上，騎士操縱機車的行為可以視為控制系統，試將此控制系統用控制方塊 圖（Control Block Diagram）表示之，並且附加說明該圖。（10 分）

3 & & 狀態迴授控制器設定為 2 2 1 1 x k x k u − − = ，其中 與 為兩個正實數常數。 1k 2 k 試找出此閉迴路系統具有無阻尼自然頻率 2 = n ω sec / rad 時之 與 關係式。（10 分） 1k 2 k 如此閉迴路系統之設計要求為具有阻尼比（damping ratio） 2 2 = ς 及無阻尼自 然頻率 2 = n ω sec / rad ，試求出個別之 與 數值。（15 分） 1k 2 k