機械工程 111 年自動控制考古題

下圖為一彈簧連接雙質量系統，其中m1 與m2 以及x1 與x2 分別表示各個 質量和位移，k 為彈簧的彈簧常數（spring constant），f 則是所施加的力。 假設兩質量均置於無摩擦的平面上，則此系統可由如下的動態方程式所描 述。 1

對於一轉移函數，

1 1 ( ) f k x x m x     1 2 2 2 ( ) k x x m x    今為控制質量m2 的位移x2，假設施力f 可設計為下列之比例微分 （proportional-derivative）控制器形式： 2 2 ( ) ( ) d d f a x x b x x       其中a 與b 即是微分增益（gain）與比例增益，而xd 則是位移輸入命令。 推導出輸出x2 對輸入xd 之轉移函數（transfer function）。（10 分） 給定 1 2 1 m m  ， 1 k ， 1 b 。假設a 為一正實數，繪製以微分增益a 為變數之根軌跡圖（root locus plot），並標示出極點（pole）、零點（zero）、 漸近線（asymptote）、漸近線與實數軸交會之位置、根軌跡進入實數軸 的位置（re-entry point）與所對應之a 值、離開角（departure angle）。 （20 分） m1 m2 k f x1 x2 二、下圖為一閉迴路控制系統之方塊圖，其中( ) R s 、( ) Y s 、( ) D s 分別表示輸入、 輸出、外來干擾（disturbance）。 繪出此系統之奈氏圖（Nyquist plot），並依據此圖求出此閉迴路控制系 統穩定之K 值範圍。（15 分） 已知此系統是穩定的，考慮 ( ) D s 為一步階函數（step function），當時間 趨近於無限大時，干擾 ( ) D s 對於輸出的影響為何？（5 分） 欲使此二階系統的阻尼比（damping ratio）為2 時，K 值該如何設計？ （10 分）

( )

考慮下列之單一回授之控制系統方塊圖，其中 ( ) G s 之轉移函數為 10 ( 10) s s  。 給定控制器 ( ) 1 c G s 以及輸入命令為100sin(10 )t ，其中t 表示時間（單位 為sec）。當時間t 為24 小時，此控制系統在時域（time domain）的輸 出為何？（10 分） 給定控制器 ( ) 1 c G s ，此控制系統開迴路轉移函數之增益交越頻率（gain crossover frequency）與相位邊界（phase margin）各為何？（10 分） 給定控制器 ( ) c P D G s K K s   ，如欲使此控制系統針對頻率為10 rad/sec 之弦波輸入（sinusoidal input），其穩態（steady state）輸出之相位落後 （phase lag）為0，且穩態輸出輸入振幅（amplitude）比為1。則此控 制器該如何設計？（20 分） + R(s)  Y(s) D(s) + + 輸入命令 輸出 + 

( ) ( ) ( 1)( 3) C s G s R s s s     ： 當輸入( ) r t 為單位脈衝函數，試推導其輸出( ) c t 之時間函數，並說明該 輸出為何會振個不停。（10 分） 當輸入為( ) ( ) r t t t   ，試推導其輸出( ) c t 之時間函數，並說明該輸出 為何會不振。（15 分） 二、對於如一單位負回授系統，輸入為單位步階函數（unit step function）： 於p z  時，穩定條件為何？自然振頻（natural frequency） n 為多少赫 茲（Hz）？阻尼比（damping ratio）為何？其2%安定時間（settling time） 4.5 s n t   為多少秒？（10 分） 於 1 z 且 2 p  時，該系統之穩定條件為何？（10 分） 於 1 z 且 2 p  時，該控制器之名稱為何？其穩態誤差 ( ) ss e t 為何？ （5 分） 三、對於一個單位負回授系統（negativeunityfeedbacksystem），其開迴路轉移函 數（open-looptransferfunction）為 ( ) KG s ，且 2 2 ( ) 7 12 s s G s s s     ，對於其閉 迴路極點根軌跡（root-locus）之分離／重合點（breakaway/break-in points） 的求解方程式為 ( ) 0 d G s ds  ： 試證明該求解方程式為正確。（10 分） 試求該開迴路轉移函數之極零點。（5 分） 試繪製該閉迴路極點根軌跡圖。（5 分） 試求該閉迴路極點根軌跡圖之分離／重合點位置。（5 分） C(s) R(s) E(s)

s s  2 s s  s K  ( ) G s ( ) c G s

一個機械系統，經由拉式轉換（Laplace transform）後： （每小題5 分，共25 分） 對一質量M 施力 ( ) F s 時，試繪製該施力 ( ) F s 與質量速度( ) V s 間之方 塊圖。 一總合施力 ( ) R s 減去阻尼摩擦力 ( ) ( ) D s cV s  等於對質量的施力 ( ) F s ，ܿ為阻尼常數，試繪製該總合施力( ) R s 與質量速度( ) V s 間之方塊圖。 試繪製如前述質量速度( ) V s 與該質量的位移 ( ) X s 間之方塊圖。 試繪製以輸入電壓 ( ) U s 之k 倍比例得到總合施力( ) R s 輸出的方塊圖。 輸入位移命令( ) Y s 與該質量位移 ( ) X s 的差異得到前述電壓 ( ) U s ，試繪 製一完整由輸入位移命令( ) Y s 至該質量位移 ( ) X s 之系統方塊圖。

畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡，其中K 值為正值。（20 分） GH(s) = ௄ ୱ(ୱାଵ)(ୱାଷ)(ୱାସ)