機械工程 111 年自動控制考古題

下圖為一彈簧連接雙質量系統，其中m1 與m2 以及x1 與x2 分別表示各個 質量和位移，k 為彈簧的彈簧常數（spring constant），f 則是所施加的力。 假設兩質量均置於無摩擦的平面上，則此系統可由如下的動態方程式所描 述。 1

1 1 ( ) f k x x m x 1 2 2 2 ( ) k x x m x 今為控制質量m2 的位移x2，假設施力f 可設計為下列之比例微分 （proportional-derivative）控制器形式： 2 2 ( ) ( ) d d f a x x b x x 其中a 與b 即是微分增益（gain）與比例增益，而xd 則是位移輸入命令。 ㈠推導出輸出x2 對輸入xd 之轉移函數（transfer function）。（10 分） ㈡給定 1 2 1 m m ， 1 k ， 1 b 。假設a 為一正實數，繪製以微分增益a 為變數之根軌跡圖（root locus plot），並標示出極點（pole）、零點（zero）、 漸近線（asymptote）、漸近線與實數軸交會之位置、根軌跡進入實數軸 的位置（re-entry point）與所對應之a 值、離開角（departure angle）。 （20 分） m1 m2 k f x1 x2 二、下圖為一閉迴路控制系統之方塊圖，其中( ) R s 、( ) Y s 、( ) D s 分別表示輸入、 輸出、外來干擾（disturbance）。 ㈠繪出此系統之奈氏圖（Nyquist plot），並依據此圖求出此閉迴路控制系 統穩定之K 值範圍。（15 分） ㈡已知此系統是穩定的，考慮 ( ) D s 為一步階函數（step function），當時間 趨近於無限大時，干擾 ( ) D s 對於輸出的影響為何？（5 分） ㈢欲使此二階系統的阻尼比（damping ratio）為2 時，K 值該如何設計？ （10 分）

考慮下列之單一回授之控制系統方塊圖，其中 ( ) G s 之轉移函數為 10 ( 10) s s 。 ㈠給定控制器 ( ) 1 c G s 以及輸入命令為100sin(10 )t ，其中t 表示時間（單位 為sec）。當時間t 為24 小時，此控制系統在時域（time domain）的輸 出為何？（10 分） ㈡給定控制器 ( ) 1 c G s ，此控制系統開迴路轉移函數之增益交越頻率（gain crossover frequency）與相位邊界（phase margin）各為何？（10 分） ㈢給定控制器 ( ) c P D G s K K s ，如欲使此控制系統針對頻率為10 rad/sec 之弦波輸入（sinusoidal input），其穩態（steady state）輸出之相位落後 （phase lag）為0，且穩態輸出輸入振幅（amplitude）比為1。則此控 制器該如何設計？（20 分） + R(s) Y(s) D(s) + + 輸入命令 輸出 +

s s 2 s s s K ( ) G s ( ) c G s

畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡，其中K 值為正值。（20 分） GH(s) = ௄ ୱ(ୱାଵ)(ୱାଷ)(ୱାସ)