機械工程 108 年自動控制考古題

若一單位斜坡函數（unit ramp function）輸入於下列兩個轉移函數（transfer function）的系統分別為 9

下圖為一系統方塊圖，其中V 為輸入，D 為外來干擾（disturbance），

9 ) T1( 2 + + = s s s s ， 9 9 ) T2( 2 + = s s s 分別求出兩系統在時間領域（time domain）的響應（輸出解）並繪製其 輸出的響應圖。（20 分） 上述的兩個系統輸出響應之穩態解分別為多少？（5 分） 二、畫出下列開迴路轉移函數系統之根軌跡圖（root locus plot），包含極零 點、漸進線、離開極點的角度（departure angle）、根軌跡與虛軸之交 點及漸進線交會於實數軸之位置。（15 分）  K 值為正值，說明系統輸出要求穩定時K 值的範圍為何？並求此回授系 統產生臨界穩定時之振盪頻率為多少？（10 分） R 5) 4 )( 10 ( K 2 + + + s s s + － C

X 為輸出， 1 K 、 2 K 與

以漸近線（asymptote）的方式繪出下列轉移函數的波德圖（Bode plot）。 （25 分） ) 16 2 ( 16 ) ( 2 + + = s s s s GH

K 為增益（gain）。 假設D 為0，解出 V X / 2 之轉移函數（transfer function）。（10 分） 假設V 為0，解出 D X / 2 之轉移函數。（5 分） 給定 = ) (t v ࣦ-1{ }) (s V 為一常數 0 V ， ) ( 1 ) ( 1 1 B s J s s G + = ，以及 2 2 2 1 ) ( s J s G = ， 其中ࣦ-1 表示反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）。欲使 0 ) ( 2 = s X ，則 = ) (t d ࣦ-1{ }) (s D 與 = ) ( 1 t x ࣦ-1{ }) ( 1 s X 應各為何？（10 分） 二、考慮一單位負回授控制系統，其開迴路轉移函數為 a s b − 。已知此系統之 相位邊界（phase margin）為60°。 求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為單位。（15 分） 如果已知轉移函數中參數a 為3，則參數b 以及此控制系統之增益交 越頻率（gain crossover frequency）各為何？（10 分） 三、已知一系統之轉移函數為 ) ( ) ( ) ( a s s b s R s Y + = ，其中 ) (s R 與 ) (s Y 分別表示輸入 與輸出。 當輸入為 t 10 sin 時，系統之穩態（steady state）輸出為 ) 135 10 cos( 2 ° + t 。 求解系統轉移函數之參數a 與b 之值。（10 分） 當輸入為 t 20 cos 時，求解當時間趨近於無限大時，此系統之穩態輸出 響應。（9 分） 求解此系統之單位步階（unit step）響應。（6 分） V X2 K1 K3 G1(s) G2(s) X1 sK2 D

假設有一個物理系統其輸入與輸出之關係近似為下列一階系統的轉移 函數： a K ) ( + = s s G 請說明如何在時域上，利用實驗的方式進行此系統之鑑別（system identification）並可以分別求出K 與a。（10 分）

考慮一單位負回授（unity negative feedback）閉迴路（closed-loop）控制 系統，其開迴路（open-loop）轉移函數為 ) 4 )( 2 2 ( 2 + + + s s s K 。 欲使此閉迴路控制系統穩定之K 值範圍為何？（10 分） 設定K 為正數。繪製此閉迴路控制系統之根軌跡圖（root locus plot）， 並標示出極點（pole）、零點（zero）、漸近線（asymptote）、漸近線與 實數軸交會之位置、根軌跡與虛數軸交會之位置、離開角（departure angle），以及各所對應之K 值。（15 分）

下面兩張圖依序為一個控制工程師，一開始先使用正比控制器 （proportional controller），進行一個有3 個極點在實數軸的受控體之控 制，調整正比控制器增益值（gain）到達A 點的系統動態響應設計。因為 此時發現其最終穩態誤差還有改善空間，因此加入一個積分器（integral controller），如此做法，無法回到之前達到A 點的動態響應。以根軌跡設 計之方式，請說明如何再繼續設計一個補償器（compensator），達到暨可 以有A 點位置的動態響應又可以改善最終穩態誤差？（15 分） jω A s-plane θ1 θ1 θ2 θ3 σ jω s-plane A θ3 θc θ2 σ