機械工程 106 年自動控制考古題

如圖的模式裡，電動馬達（motor）的轉動角1 θ 經過撓性轉軸而造成負載的轉動角

有一車輛藉由彈性連結以拉動拖車，如下圖所示。M1 與M2 分別為車頭與拖車之質 量，Bh 與Bt 分別為彈性連結之黏滯阻尼係數以及拖車與地面之黏滯摩擦係數，Kh 為 彈性連結之彈簧係數，y1(t)與y2(t)分別為車頭與拖車之位移量，f (t)為車頭之引擎推拉 控制力。 依據動力學列出此系統之動態微分方程式，並導出推拉力F(s)與拖車位移輸出Y2(s) 間之轉移函數 ) ( ) ( ) (

考慮下列的動態微分方程式ububububyayayay 321032 1+++=+++••••••••••••若定義新的狀態變數如下：uyx01β−=uxuuyx 11102 βββ−=−−=•••uxuuuyx 222103 ββββ−=−−−=••••••00b=β 0111 ββab −= 021122 βββaab−−= 031221 33ββββaaab−−−=請將下式：uuuyyyy 2243 ++=+++•••••••••表示成下列現代控制形式（modern control form）之 311333 ,,×××CBAuBXAX 1333 ××+=•uXCy031β+=×其中T321]xxx[=X。（25 分）

θ 。 馬達轉子的轉動慣量（rotary inertia）是 1J 而負載的轉動慣量是 2 J 。馬達和負載之間 撓性轉軸的彈簧常數是k 而黏滯阻尼（viscous damping）係數是b，馬達電路的電阻 是R 而電感是L。此外，馬達輸出力矩T，馬達的扭力常數（torque constant）是 t K 。 馬達的電機常數（electrical constant）是 e K 。推導如圖這個模式的統御方程式（governing equations）。（25 分） 二、已知控制系統的開路（open loop）傳遞函數（transfer function）是 2 )1 ( ) ( H ) ( G s s k s s + = 試繪出其根軌跡（root locus）。（25 分）

s F s Y s G = 。（15 分） 若此系統中之參數值大小為：Kh＝2，Bh＝4，Bt＝4，M1＝1，M2＝2，試依據 x1(t)＝y1(t)－y2(t)，x2(t)＝dy1(t)/dt 及x3(t)＝dy2(t)/dt 之狀態變數定義，寫出此系統 之三階狀態方程式。（10 分） y2(t) y1(t) f(t) Kh TRAILER M2 M1 Bh Bt Bt 二、某單一負迴授（unit negative feedback）系統的開迴路轉換函數為 ) 5 )(

考慮下列一閉迴路控制系統，假設k 大於零。要求系統穩定時控制器k 的條件為何？（10 分）畫出此系統根軌跡（root locus）並標註與虛數軸交點的k 值為何？（15 分）－YR)1(k+s)246(2-s2++ ss＋)1(k+s)246(22++−sss106年公務人員高等考試三級考試試題代號： 25450 全一張（背面）類科：機械工程科目：自動控制三、以漸近線（asymptote）方式繪出下列轉移函數（transfer function）的波德圖（bodeplot）。（20 分）)164(162++ sss四、若一單位步階函數（unit step function），輸入於一個系統的轉移函數（transfer function）為 144620 )(T2++=sss，輸出為)(ty。求此系統在時間領域（time domain）的響應（輸出解）。（10 分）上述的系統輸出)(ty響應之穩態解為何？如果輸入系統訊號改為一脈衝函數（impulse function），則系統輸出響應之穩態解為何？（10 分） 五、在一個閉迴路控制系統（closed loop control system）中，如果控制器原本只有一個正比控制器（proportional controller）的設計，後來多加入一個積分控制器（integralcontroller）在設計中，請說明其目的為何？有何缺點？（10 分）

不僅PID 控制器（PID controller），PD 控制器（PD controller）也是工業常使用的控 制器。今對於利用PD 控制器的一個自動控制系統，試繪出此系統的控制方塊圖 （control block diagram），並且必須在方塊內標示PD 增益（gain）。（25 分）

( ) ( + + = s s s k s G 。 試以k＝1 之數值繪出此系統之奈氏圖（Nyquist diagram）。（15 分） 由奈氏圖之奈氏穩定準則（Nyquist stability criterion）計算出可維持此系統穩定之 k 值範圍，以及k 為臨界穩定值時，此系統之臨界穩定振盪頻率。（10 分） 三、某一系統之開迴路轉移函數為 ) 5 ( 10 ) ( + = s s s G ，試設計一個串聯之比例微分（PD）控制 器C(s)，如下圖所示，以達成速度誤差常數（velocity error constant）KV＝20，且系統 阻尼比（damping ratio）為0.5 之閉迴路系統動態響應特性，求Kp及Kd之值。（25 分） R(s) C(s) G(s) Y(s) ＋ － 106年公務人員特種考試警察人員、一般警察 人員考試及106年特種考試交通事業鐵路 人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題 全一張 （背面） 考試別： 鐵路人員考試 等 別： 高員三級考試 類科別： 機械工程 科 目： 自動控制

對於頻率響應函數（frequency response function） ] ) 4 / ( 4 / 1[ ) ( ) 1( 10 ) ( GH 2 2 ω ω ω ω ω − + + = j j j j 試繪出其漸近的（asymptotic）波德圖（Bode plot）。（25 分） L R θ1 θ2 J1 J2 k, b v + -

某系統之頻率響應圖，亦稱波德圖（Bode plot），如下圖所示： 試由此近似波德圖之轉折點，找出系統之極點與零點，配合相關說明以寫出其開 迴路轉移函數 ) ( ) ( ) ( s A s kB s G = 。（15 分） 如設計需求為 之相位邊界（phase margin），須如何調整增益值k？並由此波德 圖求出系統可維持穩定之k 值範圍。（10 分） D 45