經建行政 115 年統計學概要考古題

已知隨機變數X 和Y 的聯合機率分配（the joint probability mass function） 如下：（每小題5 分，共20 分） ( , ) , 1, 2; 1, 2, 3, 4 32 x y f x y x y . ㈠試求隨機變數X 的邊際機率密度函數（the marginal probability density function）。 ㈡機率( 3 ) P X Y 之值為何？ ㈢條件機率(1 3 1) P Y X 之值為何？ ㈣試求條件期望值 ( 1) E Y X 。

已知某項大型語文測驗的分數呈常態分布，其平均值為75，標準差為15。 今從其中隨機選擇25 位考生的成績作為樣本，並藉由樣本平均分數X 來 推論考生們的表現。（每小題5 分，共20 分） ㈠試問X 之期望值、標準差以及機率分配分別為何？寫出答案即可，不需 要證明。 ㈡試求平均分數X 介於70.14 與82.14 之間的機率。 ㈢樣本平均分數大於82.65 的機率為多少？ ㈣試找出一個數值C，使得機率( ) 0.015 P X C 。

已知某大學學生的年齡分布為常態分配，平均數和變異數皆未知。現隨機 從其中挑選5 名大學生詢問他們的年齡，得到結果如下：20，18，17，22， 18。研究者想要檢定此大學學生的平均年齡顯著小於21 歲。 ㈠試寫出此檢定的虛無假設（null hypothesis）和對立假設（alternative hypothesis）。（6 分） ㈡計算檢定統計量（test statistic）。（10 分） ㈢在顯著水準ߙ= 0.10時，以拒絕域法（critical region method）檢定，試 問結論為何？（8 分） ㈣若以P 值法（P-value）進行檢定，試問結論為何？（6 分）

研究人員收集了關於學生每週「讀書時數」與「考試成績」的數據，資料 如下： 讀書時數（Hours of Studying） 1 3

4 7 考試成績（Exam Grade） 56 75 80 85 99 ㈠對於『讀書時數』和『考試成績』兩個變數而言，試問那個變數是自變 數（independent variable）？那個變數是依變數（dependent variable）？ （6 分） ㈡利用最小平方法（the least squares methods），試求兩變數的簡單線性迴 歸方程式 Y X 。（10 分） ㈢根據所求簡單線性迴歸方程式，讀書6 小時的預測考試成績為何？（4 分） ㈣試以顯著水準 0.05 ，檢定此迴歸線的斜率是否等於零。（10 分） 附表一標準常態分配（Area in the Body to the Left of Z） z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.00 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.20 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.90 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 Z 附表二t 分配之臨界值 v α 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 inf. 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 0 tα