經建行政 100 年統計學概要考古題

060一、公司某一部門共10 個人參加了輪盤遊戲，中獎機率為0.1。㈠如果每人玩1 次遊戲，那這個部門沒人中獎的機率為何？（7 分）㈡如果每人玩3 次遊戲，那這個部門至少中獎1 次的機率為何？（7 分）㈢假定中獎的獎金為10 萬元，又只讓該部門的兩個人各玩遊戲5 次。那該部門可獲獎金的期望值為何？（6 分） 二、在某一工作環境中，若溫度控制在22°～26°中，則產品品質合格（良品），否則為不良品。若溫度為一隨機變數X，其平均為24°，變異數為0.25°。㈠請問生產一個產品其為良品的機率至少為多少？（12 分）㈡如果生產1,600 個產品，期望至少多少個產品為良品？（8 分） 三、假設X1,…, Xn為一隨機樣本，其母體分配為N(μ, 1)。㈠請推導出μ的90%信賴區間。（8 分）㈡如果希望上述區間長度為0.5，請問樣本數n 至少為多少？（12 分）（註：若)(ααzZP≥=，則33.201.0=z，645.105.0=z，28.11.0 =z，05.0=z） 四、某一種植物的成長與陽光強度有某種關係。令Y 表示植物成長速度及X 表示光的強度，具有下面聯合機率密度函數：⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其它點且, ,24),(52yxyyxyxfxy我們有興趣的是當陽光強度X = 0.5 時，植物成長速度的平均值，即)5.0|(=XYE，請導出)|(xXYE=之公式，（15 分）並計算)5.0|(=XYE。（5 分） 五、假設我們有一簡單迴歸模型如下：nixyiii,,1,10L=++=εββiε ～),0(2σNiid設及為最小平方估計量及+x 具有常態分配0ˆβ1ˆβ0ˆβ1ˆβ)))()(1(,( ∑=−−++niixxxxnxNσββ，我們也知2))ˆˆ(( −+−=∑=nxySniiiββ滿足22)1(σSn −～。)2(2−nχ另外2S 與獨立。請導出)ˆ,ˆ(10 ββx10ββ +之100)1(α−%信賴區間。（20 分）

考慮一個簡單線性迴歸問題： ㈠若判定係數r2 = 1，則SSE（Sum of Square Error）之值為何？（5 分） ㈡若r2 = 0.64，則自變數與因變數之相關係數之值為何？（5 分） ㈢若迴歸式為Ŷ = 12+1.8x，n = 32、SSR = 225、SSE = 75、Sb = 0.2683（斜率之估計 量的標準誤），可得假設檢定 斜率= 0 之t值為何？（5 分） : 0 H ㈣在㈢中， 2 /σ SSE 的分配為何？（5 分） ㈤在㈢中， 斜率= 0，在 : 0 H 05 .0 = α 下，你如何下結論？（5 分）

考慮一個母體比例 的估計問題，假設蒐集200 個觀測值，得樣本比例 p 4.0 ˆ = p 。則： ㈠ 的實際分配為何？（5 分） pˆ ㈡ 的平均數及變異數分別為何？（10 分） pˆ ㈢ 的近似分配為何？（5 分） pˆ ㈣ 的95%信賴區間為何？（5 分） p