電子工程 93 年工程數學考古題

設∫=+′to2d)(y)t(yττ，y (0) = 3，求y (t) （20 分）

利用富氏轉換（Fourier Transform），求下列微分方程式之解？（15 分） )1 ( 5 6

求拉氏轉換 (Laplace transform) 為ln ( 1－22sa )之函數f(t)。（5 分）求函數cos2πt 之拉氏轉換。（5 分）

若C 為圓 | z－1 | ＝ 5，求∫=−−cdzzzizzcos23？（20 分）

2 − = + + t y dt dy dt y d δ （ )1 ( − t δ 是變數為 )1 ( − t 之Delta 函數） 二、試求解下列微分方程式？（15 分） 0 ) 6

已知向量場F = y3 i + x3 j + z3 k，計算面積分dAS∫∫⋅nF，其中S：x2 + 9y2 = 9，x ≧ 0，y ≧ 0，0 ≦ z ≦ 5 （15 分）

已知⎩⎨⎧<<−−<≤= 0220 )(tttttf求其傅立葉級數（10 分）求=+++++ΛΛ 222715 1311 ？（10 分）

( ) 9 2 ( 2 2 = − + − dy x xy dx xy y 三、已知純量函數 π π π z e y x V 3 2 ) 3 )(sin 3 (sin − = ，計算 = ∇V 2 ？（15 分） （ 2 ∇為拉氏算符（Laplacian Operator））

有關矩陣為⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 100001 010求此矩陣之反矩陣 (inverse matrix)。（5 分）求此矩陣之特徵值 (eigenvalue) 與對應之特徵向量 (eigenvector)。（10 分）

求微分方程式xxeyyy−=+′+′′2之解。（20 分）

計算函數 t 1 之拉氏轉換（Laplace Transform）？（15 分）

假設有一複數函數 z(t) 滿足微分方程式dttdz )(+ j z(t) = 0 及z(0) = 3，其中t 為實數而j 等於1−，求z(t) =？（10 分）乙、測驗題部分：（50 分） 代號： 1303 本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。共20 題，每題2.5 分，須用2Ｂ鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。1矩陣 A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡− 010000 113，下列何者為其特徵值 (eigenvalue) -3 所對應之特徵向量 (eigenvector)？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 1012 矩陣 A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−− 300121 102014 0006 ，下列何者不是其特徵值 (eigenvalue)？12-3-63下列何者可做為微分方程式 (2cos y + 4x2)dx = x sin y dy 的積分因子 (integrating factor)？x121xxx24下列何者是為微分方程式xxyxyyxyxln6'6''3'''423=−+−的特解 (particular solution)？(其中)0>x⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=311ln34xxyP⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=311ln34xxyP⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=611ln64xxyP⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=611ln64xxyP5若微分方程式tyyyy155'235' 1221 +−=+=，的初始值(initial value)為2)0(1)0(21−==yy，，則下列何者為正確？13)0('1=y14)0('1=y15)0('1=y16)0('1=y九十三年公務人員高等考試三級考試第二試試題代號：科 別 ：電力工程、電子工程、醫學工程科 目 ：工程數學全一張（背面） 350103 511035 8106 某一函數)(tf的拉氏轉換 (Laplace Transform)為)4)(4(122−+ss，則下列何者為正確？)]2cos()2[cosh(161)(tttf+=)]2cos()2[cosh(161)(tttf−=)]2sin()2[sinh(161)(tttf+=)]2sin()2[sinh(161)(tttf−=7若積分方程式為∫−+=tdtytty0)sin()()(τττ，則下列何者為正確？65)1(=y67)1(=y23)1(=y611)1(=y8某一系統由)()(tytx與組成，且滿足 4232 =+′+′−′′yyxx;032=+′−′yxy;0)0()0()0(==′=yxx，則下列何者為正確？1)0(=′′x2)0(=′′x3)0(=′′x4)0(=′′x9若)63()3,4()5,1(2xzdzdxzP+= ∫−，則下列何者為正確？181=P182=P183=P184=P10若∫⋅=crdrF)(Κ，其中jxiyrF−=)(、封閉曲線41:22=+ yxC，則下列何者為正確？2π=K2π−=Kπ=Kπ−=K11某一函數)(tf的拉氏轉換(Laplace Transform)為 44422 +−+sss，則下列何者為正確？2)0(=+f8)0(=+f2)0(=′+f8)0(=′+f12下列何者為函數⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤−−≤≤=1,001,110,1)(ttttf的符立葉轉換 (Fourier Transform)？[]1)cos(2−ωωi[]1)cos(2+ωωi[]1)cos(−ωωi[]1)cos(+ωωi13某一函數⎩⎨⎧≤≤+≤≤−−=ππxxxf0,40,4)(的符立葉級數 (Fourier Series)展開式為))12sin(( 1211 xnncn−−∑∞=π，則下列何者為正確？8=c16=c32=c64=c14試求複數級數nnnizn)3(210+∑+∞=之收斂半徑 (convergence of radius)。(註：1−=i) 212121 15試求某一函數zezf−= 11)(在奇點(singular point)之殘值(residues)。-2-1+1+216試求積分值θθ−θ= ∫πdU0cos817cos。π601=Uπ301=Uπ201=Uπ101=U17試求積分值dzeVz∫=Γ1，Γ 為包含原點(origin)之封閉曲線。iV4π=iV2π=iVπ=iVπ2=18若x, y 均為實變數，而iyxz+=，則下列複變函數何者為解析(analytic)的函數？)Im()Re()(zzzf=)sin(cos)(yiyezfx+=)Re()(3zzf=zzzf=)(19下列各泰勒展開式何者不正確？∑∞==−011nnzz∑∞==0 !nnznze∑∞==02)!2(cosnnnzz∑∞==02)!2(coshnnnzz20假設隨機變數X 的機率分配由常態(normal)分佈函數所決定，其平均值(mean)為50 且變異值(variance)為9，試決定C值使得機率P(X<C)=95%。42<C< 4343 <C< 4444 <C< 4545 <C<46∫

求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 300101 002A之特徵值及對應之特徵向量。（20 分）

假設 ) 4 ( ) sin( ) ( 2 2 + = z z z z f ，計算∫ = C dz z f ) ( ？（15 分） （C 是一個包含0， j 2 ，但並不包含 j 2 − 之封閉路徑； j = −1 ） 六、假設 n x) 1( + 展開式中之第5 項、第6 項及第7 項，三項係數成等差級數，求= n ？（10 分） 七、已知 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ϕ ϕ ϕ ϕ sin cos cos sin A ，證明A 是否為正交矩陣（Orthogonal Matrix）？（15 分）