電子工程 104 年工程數學考古題

求解微分方程式 0 8 7 3 2 3 = − ′ + ′′ − ′′′ y y x y x y X 。（20 分）

有一曲面S，其坐標以參數法表示為 x = u + v y = u – v2 z = u2 +3 v4 試求在u = 0, v = 1 處，曲面S 之切平面方程式為何？（20 分）

設A 為一3 × 3 的對稱正定矩陣（symmetric positive definite matrix），即其滿足 i i i q Aq λ = ，其中 i λ 為矩陣的特徵值（eigenvalues），且其值為正，而 iq 為正交的特 徵向量（orthonormal eigenvectors）。若令 3 3 2 2 1 1 q c q c q c x + + = ，試求 ㈠ x xT 與 Ax xT 之值各為何，請以 s 'c 與 s 'λ 表示之。（10 分） ㈡設 n λ λ λ < ⋅⋅⋅ < < 2 1 ，若將㈠求得之 Ax xT 之值除以 x xT 之值，則 s 'c 值應為多少時 此一比值會是最大？（10 分）

設z 為複數，求方程式 0 1 6 2 3

7 = + − + − z z z z ㈠在 1 < z 的範圍內有多少個根？（10 分） ㈡在 2 = z 的圓內有多少個根？（10 分） 五、經長期觀察後，Bob 發現他的臉書每分鐘得到一個“讚”的機率為1/720，設L 為 Bob 在某一個24 小時的區間內所獲得的“讚”總數，試計算 ㈠期望值[ ] X E 與變異量（variance） [ ] X Var 之值各為何？（8 分） ㈡L = 0 之或然率為何？（8 分） ㈢若Bob 希望下一個24 小時的區間內可獲得至少2 個“讚”的或然率為何？（4 分）