電子工程 95 年工程數學考古題

用拉普拉斯轉換（Laplace transform）解微分方程式：023=+′−′′xxx；給予初值0)0(=x、1)0(=′x。（15 分）

對於微分方程式024=+′+′′yyyx：（每小題5 分，共15 分）㈠請問)(xy在0=x能否展開為級數解？為什麼？㈡如果可以，請求出兩個級數解（寫出至少前三項）。㈢請估計級數解的收斂半徑，R。

對稱方陣⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 101A。經由一正交的坐標旋轉後，成為一對角化的方陣AQQDT=。（方陣D 只有對角線上的元素不為零），請求出方陣D 以及方陣Q。（15 分）

八維行向量Xr不是零向量、其轉置為一八維列向量TXYrv =。兩者乘積為一方陣YXAvr=為一個88× 方陣。（每小題5 分，共20 分）㈠證明A 是一個對稱的方陣。㈡若Xr為一單位向量（1=Xr），證明AA =2。㈢求行列式值det（A）。㈣找出方陣A 的本徵值（eigenvalue）和本徵向量（eigenvector）。

計算積分dxaxx∫∞∞−+22cos式中0>a。（15 分）六、給與兩向量函數xzzyyxtˆˆˆ++=v和zzyyxxrˆˆˆ++=v其中xˆ 、yˆ 、zˆ為卡式坐標系統的三個單位向量。㈠求向量)(rtvvvvv××∇=、（5 分）㈡請利用Stoke’s 定理計算積分∫⋅Cldvvv式中路徑C 為下圖所示。（15 分）12C