電子工程 99 年工程數學考古題

求解聯立微分方程式： 0 ) ( 3 ) ( ) ( = + ′ + ′ t y t y t x 1 ) ( 3 ) ( ) ( = + − ′ t y t x t y 其中 3 ) 0 ( ,0 ) 0 ( = = y x 。（15 分）

給定向量場 ，試求v之散度（divergence）及旋度（curl），其中 i, j, k 分別為X,Y, Z 軸之單位向量。（5 分） k j i v z e xy yz

+ + = ) (ω F ω 三、假設 ) (t f 之傅立葉轉換（Fourier transform） ) (ω F ，如下圖所示： 2 1 2 -2 -1 0 1 ㈠試畫出 ) 2 ( t f 及 ) ( ) 3 cos( t f t 之傅立葉轉換。（15 分） ㈡試求 ) 0 ( f 。（5 分）

已知方陣A 為 A= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 6 4 b a 且 及 均為方陣A 之特徵向量（eigenvectors）。 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −2 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 1 1 ㈠該二特徵向量 是否為R ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − 1 1 , 2 1 2（X-Y平面）之一組基底（basis）？請解釋。（10 分） ㈡試求a 及b。（10 分） ㈢假設B＝A2-2A，試求B之特徵值（eigenvalues）及特徵向量。 同時B 是否可逆（invertible）？請解釋。（15 分）

假設X為在[0, 1]之間均勻分佈之隨機變數，Y＝e2X，試求Y之機率密度函數（probability density function）及期望值（expectation）。（15 分） 六、利用 2 cos 1 − + = z z θ ，試求 ∫ + π θ θ 2 0 cos 2 d 。（10 分）