電子工程 111 年工程數學考古題
題目與答案為考試當年公告版本，實務標準請以現行規範為準。
求解y''+y' −2y = ൜3 sin t −cos t, 0< t < 2π 3 sin 2t −cos 2t , t > 2π ; y(0)=1，y'(0)=0。 其中y' dy dt ; y'' d2y dt2 。（30 分）
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൩已知此矩陣的特徵值（eigen-value）為2、2（重根）、1。請寫出A矩陣的所有特徵向量（eigen-vector）的一般形式。（5 分）令B=A8。請寫出B矩陣的所有特徵向量的一般形式。（5 分）34770四、有一個半徑為1 的圓形標靶，對著它亂射飛鏢，完全不瞄準，所以彈著點（亦即飛鏢在標靶上的落點）會是在某一個區域的機率大小，與標靶上的位置無關，只與該區域的面積大小成正比。若只考慮有射中標靶的飛鏢，直接忽略沒有射中標靶的飛鏢。令X 代表彈著點到靶心（亦即標靶的正中心）的距離，是一個隨機變數（random variable），並定義另外一個隨機變數：Y≜X2，試問：令fX(x)代表X 的機率密度函數（probability density function），則fX(x)=？（5 分）令fY(x)代表Y 的機率密度函數，則fY(x)=？（5 分）五、有一個複變函數f(z)=1z2+4，欲對其作曲線積分（contour integration），請回答下列問題：考慮如下所示的曲線：C1：|z|=3（即以複數平面原點為中心、半徑為3 的圓），從z=3+0⋅i（i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC1=？（5 分）考慮如下所示的曲線：C2：|z −i|=2（即以0+1⋅i為中心、半徑為2 的圓），從z=0+( 1) i（i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC2=？（5 分）本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1我們準備對1, 1,3（）以及2,0, 4（）這兩個向量做外積（cross product ）。如果將答案寫成1, 1,32,0, 4a,b,c（）（）（），那麼ab c=？
假設我們已知1,2,3（）、1,0, 1（）以及3,1,（）這三個向量無法構成3 ( , , ) | , ,x y zx y z的基底（basis）。那麼，α= ？
考慮如下所示之矩陣：13A21。下列敘述何者正確？
如下所示之選項中，何者為矩陣231121132的特徵向量（characteristic vector，亦稱eigenvector）？（選項中的符號T…代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議你直接套用特徵向量的定義下去做檢測）
考慮一馬可夫過程（Markov process ）：0.80.3(1)( )0.20.7x kx k，其狀態向量x 之初值(0)1000Tx。請問lim ( )xx k為何？
在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱differentiable（可微分的）），有一個是不可解析的（not analytic）。請指出那一個是不可解析的？
考慮如下所示之複變函數：23326i752if(z)1 2z(5i) zzzzz（i =1）。如果我們將該函數在z = 0 （亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成a + b i的形式，那麼a + b ？
在本題中我們考慮複變函數的線積分（line integral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成z = x + i y（i =1）的形式，接著我們用代表2y = x 這條曲線，而且其起點為(x, y) = (0,0) 、終點為(x, y) = (1,1) 。請計算2z dz並且將結果寫成a + b i的形式，此時a b的數值與下列選項何者最為接近？
令222( )()Csszdsszg，其中路徑積分之路徑C 為以2, 2i為頂點之正方形的邊界，行經方向為正。請問(1)g之值為何？
有一個雙變數函數2f(x, y)xsin(x y)。請問f(x, y) 在1,（）的梯度（gradient）為何？
考慮微分方程式：( )( )( )sin,0y ty ty tt t，其中y與y分別代表y 對變數t 做一次與二次微分。請問下列敘述何者正確？
考慮一個初始值問題（initial-value problem）__微分方程：x2y (x) + x y (x) +y(x) = x +1e，初始條件：y(0) = 2 、y (0) =1。如果我們將本問題的解答y(x) 寫成幂級數（power series）的形式：n0y(x) =axnn，那麼，2a ？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將2a 與y (0)做連結）
下列關於拉普拉斯轉換（Laplace transformation）0( ):( )steL ff tdt之敘述，何者錯誤？
考慮以下函數：( ) = 1f t，當02t；( ) = 0f t，當0t 或2t 。下列敘述何者正確？
考慮一隨機變數x，其機率密度分布函數具有下列形式：( ) =1,1f xxx，且( ) = 0,1f xx 。請問x 之變異數（variance）為何？
有兩個連續的隨機變數X 與Y，它們的合併機率密度函數（joint probability density function）為：2,if 0 <<1and 0 <<1f( , )0,otherwiseXYA x yxyx y其中A 為常數。請問隨機變數X 的期望值（expectation）為下列何者？
假設我們有一個不公平（unfair）的銅板，在每次投擲中出現正面的機率為0.4，出現反面的機率為0.6。如果我們丟擲這個銅板5 次，結果出現正面比出現反面還更多次的機率為何？（請在下列選項中選出最接近答案的數值。）
請問i2i 的主值（principal value）為何？