農業行政 106 年統計學考古題

已知兩個獨立且相同分配的隨機變數分別為X 和Y，而且X + Y 的動差母函數 （moment generating function）為 )1 ( 4 ) ( − + = te Y X e t m 。 請回答下列問題： ㈠求隨機變數X 的動差母函數及機率分配函數。（12 分） ㈡計算機率 )

P(X ≥ 。（5 分） ㈢利用題㈠的動差母函數，求母體變異數（variance）。（8 分） 二、設 1 X 和 2 X 是兩個獨立且有相同分配的隨機變數，其機率密度函數如下所示： θ θ x e x f − = 1 ) ( ， ∞ < < x 0 ， ∞ < <θ 0 。 請回答下列問題：（每小題6 分，共24 分） ㈠證明 2 1 X X + 是θ 的充分統計量（sufficient statistic）。 ㈡求 2 1 1 X X Y + = 和 2 2 X Y = 的聯合機率密度函數。 ㈢1Y 和 2 Y 如題㈡所定義，計算已知1Y 下， 2 Y 的期望值，即 ) ( 1 2 Y Y E 。 ㈣1Y 和 2 Y 如題㈡所定義，求 ) ( 1 2 Y Y E 的變異數，即 )) ( ( Var 1 2 Y Y E 。

研究洋蔥在不同溫度下軟化的程度，隨機抽取6 袋洋蔥，每袋有5 顆洋蔥。3 袋洋蔥 存放於華氏60 度的儲存室，另外3 袋洋蔥存放於華氏80 度的儲存室。應變數 （dependent variable）Y 為軟化的程度。利用統計軟體（SAS）PROC MEANS 得到 下列結果： 溫度 袋 總和 平均數 修正的平方和（corrected sum squares） 60 1 50 10 52.58 60 2 55 11 42.82 60 3 75 15 19.30 80

70 14 22.78 80

90 18 51.12 80

80 16 57.40 === === ===== 420 84 246.00 請回答下列問題： ㈠寫出計算適合此實驗設計的變異數分析表（ANOVA Table），包含來源（source）、 自由度（degree of freedom）及平方和（sum of squares）。（18 分） ㈡以F 檢定（F test）檢定溫度的效果，列出虛無假設與對立假設，檢定統計量、棄 卻域（rejection region）和結論。（8 分） （參考的f 值： ) 279 .4 , 709 .7 , 260 .4 , 621 .2 05 .0, 23 ,1 05 .0,4,1 05 .0, 24 ,1 05 .0, 24 ,5 = = = = f f f f 106年特種考試地方政府公務人員考試試題 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 四、某便利商店為了瞭解廣告的促銷效果，在臺北市隨機抽取15 家分店比較廣告前的銷 售量 ix 與廣告後的銷售量 iy ， 15 , ... ,2 ,1 = i 。資料整理如下所示： 廣告前的銷售量 廣告後的銷售量 樣本平均數 800 = x = y 樣本變異數 2 = x S 2 = y S 另知廣告前後銷售量的樣本相關係數為 85 .0 r = 。擬以簡單線性迴歸模型 i i i x y ε β β + + = 1 0 , ) ,0 ( 2 . .. σ ε N d ii i ～ , 15 , ... ,2 ,1 = i ,分析資料，請回答下列問題： ㈠求斜率（ 1 β ）的最小平方估計值。（10 分） ㈡檢定廣告前後的平均銷售量是否相等？（假設廣告前後的銷售量的母體均滿足變異 數均等的常態分配，顯著水準 10 .0 = α 。）（5 分） ㈢已知廣告前的銷售量是900，求其廣告後的平均銷售量是多少？（10 分） （參考的t 值： ） 761 .1 , 753 .1 , 699 .1 , 697 .1 05 .0, 14 05 .0, 15 05 .0, 29 05 .0, 30 = = = = t t t t