農業行政 104 年統計學考古題

二因子（假設二因子皆固定的，fixed factors）變異數分析表如下： 變異來源 平方和 自由度 均方 F 值 因子 1 450

一盒中放有編號1，2，3，4，5 之大小、形狀、重量完全相同的5 顆球。今由此盒 隨機抽一球，若抽出為n 號球，則投擲n 個正、反兩面出現機率均等之均勻的銅板。 （每小題10 分，共20 分） 試求最後投擲之銅板中剛好有3 個正面的機率。 試求投擲之銅板出現正面次數的期望值。

A F1 因子 2 3.5

投擲三個均勻銅板4 次，令X 表4 次投擲中三個銅板都是反面的次數，Y 表4 次投 擲中三個銅板只有出現一個反面的次數。（每小題10 分，共20 分） 試求X 與Y 皆小於1 的機率。 試求 1 = −Y X 的機率。

B F2 交互作用 246.5 C D F3 誤差 E F G 總和 750 23 請填入表格中A, B, C, D, E, F, G, F1, F2, F3 的數值。（10 分） 在顯著水準0.05 下，檢定因子1, 因子2, 和交互作用是否顯著（寫出虛無假設和 對立假設，說明檢定統計量之分配及檢定之結果）。（15 分） 二、電器公司想了解冷氣機銷售量（y）和在電視上做廣告次數（x）之關係，隨機抽取 之數據如下表： x y

設隨機變數X 與Y 相互獨立，且各別具有自由度為2 與3 之卡方分配 ) 2 ( 2 χ 與 ) 3 ( 2 χ 。 令隨機變數 Y X X T + = 。（每小題10 分，共20 分） 試求T 之機率密度函數 ) (t f 。 試求T 之變異數 ) (T Var 。

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假設 n X X X , , , 2 1 K 為抽自具有常態分配 ) , ( 2 σ μ N 之隨機樣本。（每小題10分，共20分） 若μ 和 2 σ 為未知的參數，且設c 滿足 90 .0 ] [ 1 = ≤c X P ，試求c 之最大概似估計量 （maximum likelihood estimator）。 若μ 已知為1， 2 σ 為未知的參數，試求滿足 90 .0 ] [ 1 = ≤c X P 之c 的 )% 1( 100 α − 信 賴水準的信賴區間。 （已知若隨機變數Z 具有標準常態分配，則 90 .0 ] 2816 .1 [ = < Z P ）

考慮建立簡單直線迴歸模型 n i X Y i i i , ,2,1 , 2 1 K = + + = ε β β ，且假設 n i ε ε ε ε K , , , 3 2 為 相互獨立且具常態分配 ) ,0 ( 2 σ N 之隨機誤差。（每小題10 分，共20 分） 試求 1 β 與 2 β 之最大概似估計量， 1ˆβ 與 2ˆβ 。 試求題中， 1ˆβ 與 2ˆβ 之相關係數。

3 9 5 52 59 43 56 56 40 65 50 畫出y 和x 之散布圖並依散布圖寫出y 和x 的迴歸模式。（5 分） 迴歸模式中的參數之最小平方估計值為何？（10 分） 以迴歸模式中的斜率估計值計算y 和x 的相關係數。（5 分） 以計算得的相關係數計算判定係數（coefficient of determination）。（5 分） （請接第二頁） 104年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號： 31780 31880 32080 34780 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 全四頁 第二頁 三、假設隨機變數Xi，i = 1,2,…,n，為互相獨立的常態分配，期望值為μ，且變異數為 2 σ 。 令 ) 2 | μ X (| P p σ ≤ − = i ， ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − = 其他 若 ,0 2 μ X | ,1 σ | I i i ，且 ∑= = n i iI 1 M 。 計算p 值。（5 分） 說明M 之分配為何？（5 分） 計算機率，P(M = 2 )。（5 分） 計算iI 之變異數。（5 分） 以柴比雪夫定理（Chebyshev’s theorem）計算p值或p值之範圍。（5 分） 四、令隨機變數X 和Y 分別為兩獨立零件之壽命，其機率密度函數（pdf）分別為 0 , ) ( X ≥ = − x e x f x λ λ ， 0 , ) ( Y ≥ = − y e y f y λ λ 。 令隨機變數Z 為產品之壽命，而產品之壽命即兩零件壽命之和。請推導出Z 之pdf， 並說明Z 為那個分配。（10 分） 令W = min(X, Y)，即W 為兩零件壽命中之較短壽命，請推導出W 的pdf，並說明 W 為那個分配。（10 分） 計算機率，P(W < 10)，其中W = min(X, Y)。（5 分） （請接第三頁） 104年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號： 31780 31880 32080 34780 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 （請接背面） 全四頁 第三頁 附統計表：F 表和Z 值表 Critical Values of the F-Distribution: A=.05 （請接第四頁） 0 FA F f(F) NUMERATOR DEGREES OF FREEDOM v1 v2 DENOMINATOR DEGREES OF FREEDOM A 104年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號： 31780 31880 32080 34780 等 別： 三等考試 類 科： 經建行政、工業行政、農業行政、交通技術 科 目： 統計學 全四頁 第四頁 Cumulative Standardized Normal Probabilities